ما هي حالة المثلث SSA؟
تظهر حالة SSA (ضلع–ضلع–زاوية) عندما تكون لديك معلومات عن ضلعين من المثلث وزاوية غير محصورة بينهما. تعتمد هذه الحاسبة على قانون الجيب لإيجاد الزاوية المجهولة B، ثم الزاوية الثالثة C، والضلع الثالث c. تشتهر حالة SSA باسم "الحالة الغامضة" لأن المعطيات نفسها قد تؤدي إلى عدم وجود مثلث على الإطلاق، أو إلى مثلث واحد، أو إلى مثلثين مختلفين تمامًا.
طريقة الاستخدام
أدخل الضلع a (الضلع المقابل للزاوية المعلومة A)، ثم قيمة الزاوية A بالدرجات، وأخيرًا الضلع b. تحسب الأداة قيمة جيب الزاوية \(\sin(B)\)، ثم تستخرج القيمة الحادة للزاوية B، وبعدها الزاوية C والضلع c. كما تخبرك بعدد المثلثات الصحيحة التي تنتج عن المعطيات التي أدخلتها.
شرح المعادلة
وفقًا لقانون الجيب: \(\frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(A)}{a}\)، ومنه نحصل على
$$\sin B = \frac{\text{Side }b \cdot \sin\!\left(\text{Angle }A\right)}{\text{Side }a}$$فإذا تجاوزت هذه القيمة الواحد الصحيح، فلا وجود لأي مثلث. أما في الحالات الأخرى، فإن \(B = \arcsin(\dots)\)، و \(C = 180^{\circ} - A - B\)، و \(c = \frac{a \cdot \sin(C)}{\sin(A)}\). ويوجد مثلث ثانٍ (باستخدام \(B' = 180^{\circ} - B\)) كلما تحقق الشرطان \(a < b\) وكذلك \(A + B' < 180^{\circ}\).
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 7\) و \(A = 40^{\circ}\) و \(b = 5\): نحسب
$$\sin(B) = \frac{5 \cdot \sin(40^{\circ})}{7} = \frac{5 \cdot 0.6428}{7} \approx 0.4591$$ومنه \(B \approx 27.33^{\circ}\)، و \(C \approx 112.67^{\circ}\)، و
$$c = \frac{7 \cdot \sin(112.67^{\circ})}{\sin(40^{\circ})} \approx 10.04$$وبما أن \(a > b\) في هذا المثال، فإن القيمة الحادة للزاوية B هي الوحيدة التي تعطي مثلثًا صحيحًا — أي أننا نحصل على مثلث واحد فقط.
الأسئلة الشائعة
لماذا تُسمى "غامضة"؟ لأنه يمكن لمثلثين مختلفين أن يشتركا في القيم نفسها a وA وb عندما يكون الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المعطى الآخر.
متى يوجد مثلثان؟ عندما يكون \(a < b\) ومع ذلك يتحقق \(b \cdot \sin(A) < a\)، عندئذ تحقق المعادلة قيمتان للزاوية B: واحدة حادة وأخرى منفرجة.
ماذا لو كانت \(\sin(B) > 1\)؟ عندها لا يوجد أي مثلث؛ فالضلع المعطى a أقصر من أن يصل إلى الضلع b.
