ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقدّر هذه الأداة عدد سحبات الجاتشا، أو مشتريات كبسولات الألعاب، أو بطاقات التجميع، أو علب الملصقات التي يُتوقع أن تفتحها قبل أن تحصل على عنصر واحد على الأقل من كل نوع في المجموعة كاملة. وهذه هي «مسألة جامع الكوبونات» الكلاسيكية في نظرية الاحتمالات. والنتيجة هي متوسط على مدى محاولات كثيرة: فقد تكون أي محاولة فردية أكثر حظًا أو أقل حظًا. هذه رياضيات عامة تنطبق على أي بلد أو منصة.
كيفية الاستخدام
أدخل العدد الإجمالي لأنواع العناصر المختلفة في المجموعة التي تريد إكمالها (مثلاً سلسلة كبسولات من 6 عناصر أو سلسلة بطاقات من 66 بطاقة)، ثم اقرأ العدد المتوقع للسحبات. تفترض الحاسبة أن لكل عنصر الاحتمال نفسه في الظهور عند كل سحبة.
شرح المعادلة
إذا كان لديك n من أنواع العناصر المتساوية في الاحتمال، فإن العدد المتوقع للسحبات لإكمال المجموعة هو $$E(n) = n \times H(n)$$ حيث \(H(n)\) هو العدد التوافقي الن-ي: $$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$ والفكرة البديهية: بمجرد أن تمتلك أصلاً \(i-1\) من العناصر المختلفة، يصبح احتمال أن تكون السحبة التالية شيئًا جديدًا هو \(\frac{n-(i-1)}{n}\)، لذا يتطلب الأمر في المتوسط \(\frac{n}{n-(i-1)}\) سحبة للعثور على العنصر الجديد رقم \(i\). وبجمع هذه القيم من \(i=1\) حتى \(n\) نحصل على \(n\) مضروبًا في مجموع \(\frac{1}{k}\).
مثال محلول
لمجموعة من 6 عناصر: $$H(6) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = 2.45$$ إذن \(E = 6 \times 2.45 =\) 14.7 سحبة. العنصر الأول مضمون في سحبة واحدة، لكن العنصر الأخير الأصعب في الحصول عليه يستغرق وحده نحو 6 سحبات في المتوسط.
الأسئلة الشائعة
هل ينطبق هذا على مستويات الندرة أو معدلات الظهور غير المتساوية؟ لا. تفترض المعادلة أن كل عنصر متساوٍ في الاحتمال. وإذا كانت الجاتشا لديك تحتوي على عناصر نادرة وأخرى شائعة بمعدلات مختلفة، فستحتاج إلى النموذج الأعم لجامع الكوبونات المرجّح، الذي يعطي عددًا أكبر.
هل النتيجة مضمونة؟ لا، بل هي المتوسط على المدى الطويل. قد تنتهي أسرع أو أبطأ بكثير؛ فالتوزيع له ذيل طويل.
كيف أقدّر التكلفة؟ اضرب العدد المتوقع للسحبات في سعر السحبة الواحدة لتحصل على الميزانية المتوقعة.
