Công cụ tính số lần quay Gacha kỳ vọng để sưu tập đủ bộ

Nhập phép tính

Số loại vật phẩm Tổng số vật phẩm khác nhau trong bộ hoàn chỉnh (giả định tỷ lệ rơi bằng nhau)

Kết quả

Số lần quay kỳ vọng để hoàn thành bộ

14,7

lần quay (trung bình)

Số loại vật phẩm (n)	6
Số điều hòa H(n)	2,45
Giả định	Mọi vật phẩm có xác suất như nhau (tỷ lệ rơi đồng đều)

Công cụ này dùng để làm gì

Công cụ ước tính số lần bạn cần quay gacha, mua gachapon, mở thẻ bài hay gói sticker trước khi sưu tập được ít nhất một mỗi vật phẩm trong một bộ hoàn chỉnh. Đây chính là "Bài toán Sưu tập phiếu" (Coupon Collector's Problem) kinh điển trong lý thuyết xác suất. Kết quả là con số trung bình qua nhiều lần thử: một lượt chơi cụ thể có thể may mắn hơn hoặc xui xẻo hơn rất nhiều. Đây là toán học phổ quát, áp dụng được cho mọi quốc gia và nền tảng.

Cách sử dụng

Nhập tổng số loại vật phẩm khác nhau trong bộ mà bạn muốn sưu tập đủ (ví dụ: một dãy gachapon 6 món, hay một series 66 thẻ bài) rồi xem ngay số lần quay kỳ vọng. Công cụ giả định mỗi vật phẩm đều có khả năng xuất hiện như nhau trong mỗi lần quay.

Giải thích công thức

Nếu có n loại vật phẩm với xác suất ra như nhau, số lần quay kỳ vọng để hoàn thành bộ là

$$E(n) = n \times H(n)$$

trong đó \(H(n)\) là số điều hòa thứ n:

$$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$

Cách hiểu trực quan: khi bạn đã có \(i-1\) vật phẩm khác nhau, xác suất lần quay tiếp theo ra một món mới là \((n-(i-1))/n\), nên trung bình cần \(n/(n-(i-1))\) lần quay để tìm ra vật phẩm mới thứ i. Cộng tất cả từ \(i=1\) đến \(n\) ta được n nhân với tổng của \(1/k\).

Quảng cáo

Khi bộ sưu tập lớn dần, mỗi lần rút mới ít có khả năng là vật phẩm còn thiếu, nên số lần rút kỳ vọng cho mỗi vật phẩm mới tăng lên.

Ví dụ minh họa

Với bộ 6 vật phẩm:

$$H(6) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = 2{,}45$$

nên

$$E = 6 \times 2{,}45 = \mathbf{14{,}7 \text{ lần quay}}$$

Vật phẩm đầu tiên chắc chắn có chỉ sau 1 lần quay, nhưng riêng vật phẩm cuối cùng — món khó kiếm nhất — trung bình ngốn tới khoảng 6 lần quay.

Số lần rút kỳ vọng \(E(n)=n \cdot H(n)\) tăng nhanh hơn n khi kích thước tập hợp tăng.

Câu hỏi thường gặp

Công cụ có dùng được cho các bậc độ hiếm hay tỷ lệ rơi không đồng đều không? Không. Công thức giả định mọi vật phẩm đều có xác suất ra như nhau. Nếu gacha của bạn có vật phẩm hiếm và phổ thông với tỷ lệ khác nhau, bạn cần mô hình sưu tập phiếu có trọng số tổng quát hơn, và kết quả sẽ lớn hơn.

Kết quả có phải là con số chắc chắn không? Không, đó là mức trung bình trong dài hạn. Bạn có thể hoàn thành nhanh hơn hoặc chậm hơn rất nhiều; phân phối có phần đuôi kéo dài.

Làm sao để ước tính chi phí? Hãy nhân số lần quay kỳ vọng với giá mỗi lần quay để ra khoản ngân sách dự kiến.