Calculadora del número esperado de tiradas para completar una colección gacha

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Número de tipos de objetos Total de objetos distintos en la colección completa (supone probabilidades iguales)

Resultados

Número esperado de tiradas para completar la colección

14,7

tiradas (de media)

Número de tipos de objetos (n)	6
Número armónico H(n)	2,45
Suposición	Todos los objetos igual de probables (probabilidad uniforme)

Qué hace esta calculadora

Esta herramienta estima cuántas tiradas de gacha, cápsulas de máquina, cartas coleccionables o sobres de cromos tendrás que abrir, en promedio, hasta reunir al menos un objeto de cada tipo y completar la colección entera. Es el clásico «problema del coleccionista de cupones» de la teoría de la probabilidad. El resultado es una media sobre muchos intentos: una partida concreta puede salirte con más o menos suerte. Se trata de matemática universal, así que vale para cualquier país o plataforma.

Cómo usarla

Introduce el número total de objetos distintos de la colección que quieres completar (por ejemplo, una serie de 6 cápsulas o una colección de 66 cartas) y consulta el número esperado de tiradas. La calculadora da por hecho que todos los objetos tienen la misma probabilidad de salir en cada tirada.

La fórmula explicada

Si hay n tipos de objetos con la misma probabilidad, el número esperado de tiradas para completar la colección es \(E(n) = n \times H(n)\), donde \(H(n)\) es el n-ésimo número armónico: \(H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n\). La idea intuitiva: cuando ya tienes \(i-1\) objetos distintos, la probabilidad de que la siguiente tirada sea algo nuevo es \((n-(i-1))/n\), así que de media hacen falta \(n/(n-(i-1))\) tiradas para encontrar el i-ésimo objeto nuevo. Sumando todo esto desde \(i=1\) hasta \(n\) se obtiene n por la suma de \(1/k\).

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A medida que crece tu colección, cada nueva extracción tiene menos probabilidad de ser un objeto que te falta, por lo que aumentan las extracciones esperadas por objeto nuevo.

Ejemplo práctico

Para una colección de 6 objetos: $$H(6) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = 2{,}45$$ de modo que $$E = 6 \times 2{,}45 = 14{,}7 \text{ tiradas}$$ El primer objeto está garantizado en 1 tirada, pero el último, el más difícil de conseguir, requiere por sí solo unas 6 tiradas de media.

Las extracciones esperadas \(E(n)=n \cdot H(n)\) crecen más rápido que \(n\) a medida que aumenta el tamaño del conjunto.

Preguntas frecuentes

¿Sirve para rarezas o probabilidades de aparición desiguales? No. La fórmula supone que todos los objetos son igual de probables. Si tu gacha tiene objetos raros y comunes con tasas distintas, necesitas el modelo más general del coleccionista de cupones ponderado, que da un número mayor.

¿El resultado es una garantía? No, es la media a largo plazo. Puedes terminar antes o muchísimo más tarde; la distribución tiene una cola larga.

¿Cómo calculo el coste? Multiplica las tiradas esperadas por el precio de cada tirada para estimar tu presupuesto.