Qué hace esta calculadora
Completar el cuadrado es una técnica fundamental del álgebra para resolver ecuaciones de segundo grado, representar parábolas y deducir la fórmula general. En una expresión del tipo x² + bx, el cuadrado se completa sumando una constante concreta: \((b/2)^2\). Esta calculadora toma tu coeficiente b y te devuelve al momento esa constante, junto con \(b/2\) y la forma de cuadrado perfecto resultante.
Cómo usarla
Localiza el coeficiente del término lineal (el de x) en una expresión ya escrita como x² + bx. Introduce ese valor como b: puede ser positivo, negativo o decimal. La calculadora te devuelve el número \((b/2)^2\) que debes sumar y te muestra la forma factorizada \((x + b/2)^2\).
La fórmula explicada
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma \((x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\). Al comparar \(x^2 + bx\) con \(x^2 + 2kx\) vemos que \(2k = b\), de modo que \(k = b/2\). Por lo tanto, la constante que falta es \(k^2 = (b/2)^2\). Al sumarla, la expresión se convierte en un cuadrado exacto:
$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$
Ejemplo resuelto
Imagina que tienes \(x^2 + 6x\). Aquí \(b = 6\), así que \(b/2 = 3\) y \((b/2)^2 = 9\). Al sumar 9 obtienes \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\). Si partieras de la ecuación \(x^2 + 6x = 5\), sumarías 9 a ambos lados: \((x + 3)^2 = 14\), y después despejarías \(x = -3 \pm \sqrt{14}\).
Preguntas frecuentes
¿Y si el término x² tiene un coeficiente distinto de 1? Primero saca factor común o divide para que el coeficiente principal sea 1 (por ejemplo, \(2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x)\)) y luego completa el cuadrado dentro del paréntesis, en \(x^2 + 4x\).
¿Funciona con b negativo? Sí. Al elevar al cuadrado desaparece el signo, así que \((b/2)^2\) siempre es no negativo. Para \(x^2 - 8x\), \(b = -8\), \(b/2 = -4\) y sumas 16.
¿Y con fracciones? Los decimales y las fracciones funcionan sin problema; para \(x^2 + 3x\) sumas \((1{,}5)^2 = 2{,}25\).
