ماذا تفعل هذه الحاسبة
إكمال المربع من الأساليب الجبرية المحورية لحل المعادلات التربيعية ورسم القطوع المكافئة واشتقاق القانون العام. فبالنسبة لعبارة على الصورة x² + bx، نُكمل المربع بإضافة ثابت محدّد هو \((b/2)^2\). تأخذ هذه الحاسبة قيمة المعامل b وتُرجِع لك هذا الثابت فورًا، إلى جانب قيمة \(b/2\) وصيغة المربع الكامل الناتجة.
طريقة الاستخدام
حدّد معامل الحد الخطي (حد x) في عبارة مكتوبة على الصورة \(x^2 + bx\). ثم أدخل تلك القيمة في خانة b — ويمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو عشرية. تُرجِع لك الحاسبة العدد \((b/2)^2\) الذي ينبغي إضافته، وتعرض الصورة المُحلَّلة \((x + b/2)^2\).
شرح القانون
المربع الكامل ثلاثي الحدود يأخذ الصورة \((x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\). وبمقارنة \(x^2 + bx\) بالعبارة \(x^2 + 2kx\) نجد أن \(2k = b\)، ومن ثَمّ \(k = b/2\). وبذلك يكون الثابت المفقود هو $$\text{Term} = \left(\frac{\text{Coefficient }b}{2}\right)^{2}$$ وعند إضافته تصبح العبارة مربعًا تامًّا: $$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$
مثال محلول
لنفترض أن لديك \(x^2 + 6x\). هنا \(b = 6\)، إذن \(b/2 = 3\) و \((b/2)^2 = 9\). وبإضافة 9 نحصل على $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ وإذا انطلقت من المعادلة \(x^2 + 6x = 5\)، فإنك تضيف 9 إلى الطرفين: \((x + 3)^2 = 14\)، ثم تحلّ لتجد \(x = -3 \pm \sqrt{14}\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان معامل الحد x² لا يساوي 1؟ أخرِج العامل المشترك أو اقسم أولًا حتى يصبح المعامل الرئيسي مساويًا 1 (مثال: \(2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x)\))، ثم أكمل المربع للعبارة الداخلية \(x^2 + 4x\).
هل تعمل مع قيمة b سالبة؟ نعم. فالتربيع يلغي الإشارة، لذا تكون \((b/2)^2\) غير سالبة دائمًا. ففي العبارة \(x^2 - 8x\) نجد \(b = -8\) و \(b/2 = -4\)، ونضيف 16.
وماذا عن الكسور؟ الأعداد العشرية والكسور تعمل دون مشكلة؛ ففي العبارة \(x^2 + 3x\) تضيف \((1.5)^2 = 2.25\).
