ما هو مجال الدالة النسبية؟
الدالة النسبية هي خارج قسمة كثيرتي حدود، أي \(f(x) = P(x) / Q(x)\). وبما أن القسمة على صفر غير معرّفة، فإن مجال الدالة النسبية يشمل جميع الأعداد الحقيقية باستثناء القيم التي تجعل المقام \(Q(x)\) مساويًا للصفر. تقوم هذه الحاسبة بإيجاد تلك القيم المستثناة نيابةً عنك، حتى تتمكن من تحديد المجال بسرعة ودقة.
كيفية استخدام الحاسبة
حدّد أولًا ما إذا كان مقامك خطيًا \((ax + b)\) أو تربيعيًا \((ax^{2} + bx + c)\)، ثم أدخل المعاملات. تحل الحاسبة معادلة المقام يساوي صفرًا، وتعرض قيم \(x\) التي يجب استبعادها من المجال. وبذلك يكون المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا هذه القيم.
شرح القاعدة الرياضية
في حالة المقام الخطي، نضع \(ax + b = 0\) ونحلها لنحصل على $$\text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$ أما في حالة المقام التربيعي، فنستخدم القانون العام $$\begin{gathered} \text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$ ويخبرنا المميز \(b^{2} - 4ac\) بعدد الأصفار الحقيقية الموجودة: صفران إذا كان موجبًا، وصفر واحد (مكرر) إذا كان يساوي صفرًا، ولا يوجد أي صفر إذا كان سالبًا. وعندما لا توجد أصفار حقيقية، فإن المقام لا يساوي الصفر أبدًا، ويكون المجال هو جميع الأعداد الحقيقية.
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = 1 / (x^{2} - 5x + 6)\). هنا \(a = 1\) و \(b = -5\) و \(c = 6\). المميز يساوي \((-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\). والجذران هما \((5 \pm 1) / 2\) أي \(3\) و \(2\). إذًا المجال هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء \(x = 2\) و \(x = 3\)، ويُكتب على الصورة \(x \neq 2\) و \(x \neq 3\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو لم يساوِ المقام الصفر أبدًا؟ عندها تكون الدالة معرّفة عند جميع القيم، ويكون المجال هو جميع الأعداد الحقيقية \((-\infty, \infty)\).
هل تؤثر أصفار البسط على المجال؟ لا. أصفار البسط تعطي نقاط تقاطع مع المحور السيني، وليست قيودًا على المجال. المقام وحده هو الذي يقيّد المجال.
وماذا عن نقاط عدم الاتصال القابلة للإزالة (الثقوب)؟ العامل الذي يُختصر يبقى مقيّدًا للمجال عند تلك النقطة، حتى وإن كان الرسم البياني يحتوي على ثقب بدلًا من خط تقارب هناك. تستخدم هذه الأداة المقام كما تم إدخاله.
