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प्रांत (बाहर रखे गए मान)

x ≠ 2

उन x को छोड़कर सभी वास्तविक x जहाँ हर शून्य के बराबर होता है

बाहर रखे गए मानों की संख्या	1
बाहर रखा गया मान 1	2

परिमेय फलन का प्रांत (domain) क्या होता है?

परिमेय फलन दो बहुपदों का अनुपात होता है, यानी $f(x) = P(x) / Q(x)$। चूँकि शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है, इसलिए किसी परिमेय फलन का प्रांत उन सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बनता है जो हर $Q(x)$ को शून्य नहीं बनातीं। यह कैलकुलेटर आपके लिए वही मान ढूँढ़ देता है जिन्हें प्रांत से बाहर रखना ज़रूरी है, ताकि आप प्रांत को तेज़ी और सटीकता से लिख सकें।

संख्या रेखा जिस पर दो बिंदु खुले वृत्तों से चिह्नित हैं जो छोड़े गए मानों को दर्शाते हैं, बाकी रेखा प्रांत के रूप में छायांकित है — प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, सिवाय उन मानों के जहाँ हर शून्य होता है (खुले वृत्त)।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सबसे पहले चुनें कि आपका हर रैखिक $(ax + b)$ है या द्विघात $(ax^{2} + bx + c)$, फिर गुणांक भरें। कैलकुलेटर हर को शून्य के बराबर रखकर हल करता है और वे $x$-मान दिखा देता है जिन्हें प्रांत से हटाना होगा। इसके बाद प्रांत उन मानों को छोड़कर बाकी सभी वास्तविक संख्याएँ बन जाता है।

सूत्र की समझ

रैखिक हर के लिए $ax + b = 0$ रखें और हल करने पर मिलता है:

$$\text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$

द्विघात हर के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करें:

$$\begin{gathered} \text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$

विविक्तकर (discriminant) $b^{2} - 4ac$ बताता है कि कितने वास्तविक शून्य मौजूद हैं — धनात्मक होने पर दो, शून्य होने पर एक (दोहराया हुआ), और ऋणात्मक होने पर कोई नहीं। जब कोई वास्तविक शून्य नहीं होता, तो हर कभी शून्य नहीं बनता और प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हो जाता है।

परिमेय फलन का आरेख जिसमें अंश हर के ऊपर दिखाया गया है और हर शून्य के बराबर नहीं रखा गया है — हर को शून्य के बराबर नहीं रखकर हल करें और छोड़े गए $x$-मान ज्ञात करें।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $f(x) = 1 / (x^{2} - 5x + 6)$। यहाँ $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$ है। विविक्तकर $= (-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$। मूल हैं $(5 \pm 1) / 2$, यानी $3$ और $2$। इसलिए प्रांत में $x = 2$ और $x = 3$ को छोड़कर बाकी सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं, जिसे $x \neq 2$ और $x \neq 3$ लिखा जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)

अगर हर कभी शून्य के बराबर नहीं होता तो? तब फलन हर जगह परिभाषित होता है और प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ $(-\infty, \infty)$ होता है।

क्या अंश (numerator) के शून्य प्रांत को प्रभावित करते हैं? नहीं। अंश के शून्य $x$-अंतःखंड (x-intercept) देते हैं, न कि प्रांत पर कोई पाबंदी। प्रांत को केवल हर ही सीमित करता है।

हटाई जा सकने वाली असांतत्यताओं (holes) का क्या? कोई गुणनखंड कट जाने पर भी उस बिंदु पर प्रांत सीमित ही रहता है, भले ही ग्राफ़ में वहाँ अनंतस्पर्शी (asymptote) के बजाय एक छेद (hole) हो। यह टूल हर को उसी रूप में लेता है जैसा आपने दर्ज किया है।

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