什麼是有理函數的定義域？
有理函數是兩個多項式相除的形式，也就是 \(f(x) = P(x) / Q(x)\)。由於除以零沒有意義，因此有理函數的定義域是「所有實數」，但必須扣除會讓分母 \(Q(x)\) 等於零的那些值。這個計算器會幫你找出這些需要排除的 \(x\) 值，讓你又快又準地寫出定義域。
計算器使用方式
先選擇你的分母是一次式（\(ax + b\)）還是二次式（\(ax^2 + bx + c\)），接著輸入各項係數。計算器會解出分母等於零的方程式，並列出必須從定義域中移除的 \(x\) 值。剩下的定義域，就是「除了這些值以外的所有實數」。
公式說明
若分母為一次式，令 \(ax + b = 0\) 解出
$$\text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$若分母為二次式，則使用一元二次公式
$$\begin{gathered} \text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$其中的判別式 \(b^2 - 4ac\) 會告訴你有幾個實數根：大於零時有兩個根，等於零時有一個重根，小於零時則沒有實數根。當沒有實數根時，分母永遠不會等於零，定義域就是全體實數。
範例演算
以 \(f(x) = 1 / (x^2 - 5x + 6)\) 為例，此時 \(a = 1\)、\(b = -5\)、\(c = 6\)。判別式為
$$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$代入公式得到兩根
$$\frac{5 \pm 1}{2}$$也就是 \(3\) 與 \(2\)。因此定義域是「除了 \(x = 2\) 與 \(x = 3\) 以外的所有實數」，可寫成 \(x \neq 2\) 且 \(x \neq 3\)。
常見問題
如果分母永遠不等於零怎麼辦？那麼這個函數在每一點都有定義，定義域就是全體實數 \((-\infty, \infty)\)。
分子的零點會影響定義域嗎？不會。分子的零點對應的是函數的 \(x\) 截距，並不會限制定義域。只有分母才會限制定義域。
那可去間斷點（孔洞）呢？就算某個因式可以被約掉，它在該點仍然會限制定義域——只是圖形在那裡呈現的是一個「孔洞」，而非漸近線。本工具會直接以你所輸入的分母來計算。
