什么是有理函数的定义域？
有理函数是两个多项式的比值，即 \(f(x) = P(x) / Q(x)\)。由于除数不能为零，有理函数的定义域就是除去使分母 \(Q(x)\) 等于零的那些值之外的所有实数。这款计算器会帮你找出这些需要排除的取值，让你又快又准地写出定义域。
如何使用本计算器
先选择你的分母是一次式（\(ax + b\)）还是二次式（\(ax^2 + bx + c\)），然后填入各项系数。计算器会令分母等于零并求解，列出必须从定义域中剔除的 \(x\) 值。定义域即为除这些值之外的全体实数。
公式详解
对于一次分母，令 \(ax + b = 0\)，解得
$$\text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$对于二次分母，使用求根公式
$$\begin{gathered} \text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$判别式 \(b^2 - 4ac\) 决定了实数零点的个数：大于零时有两个，等于零时有一个（重根），小于零时则没有。当不存在实数零点时，分母永远不为零，定义域就是全体实数。
例题演练
以 \(f(x) = 1 / (x^2 - 5x + 6)\) 为例。此时 \(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)。判别式为
$$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$两个根为 \((5 \pm 1) / 2\)，即 \(3\) 和 \(2\)。因此定义域为除 \(x = 2\) 和 \(x = 3\) 之外的全体实数，可写作 \(x \neq 2\) 且 \(x \neq 3\)。
常见问题
如果分母永远不等于零会怎样？ 那么函数在任意点都有定义，定义域为全体实数 \((-\infty, \infty)\)。
分子的零点会影响定义域吗？ 不会。分子的零点对应函数图像与 \(x\) 轴的交点，并不构成定义域的限制。只有分母才会限制定义域。
那可去间断点（"洞"）呢？ 即使某个因式可以约分，它在该点仍会限制定义域——只不过此处图像上出现的是一个"洞"，而非渐近线。本工具按你输入的原始分母进行计算。
