有理関数の定義域とは？
有理関数とは、\(f(x) = P(x) / Q(x)\) のように2つの多項式の比で表される関数のことです。0で割ることは定義できないため、有理関数の定義域は「分母 \(Q(x)\) を0にする値を除いたすべての実数」となります。この計算ツールは、その除外すべき値を自動で求めるので、定義域をすばやく正確に書き出せます。
この計算ツールの使い方
まず分母が一次式（\(ax + b\)）か二次式（\(ax^2 + bx + c\)）かを選び、係数を入力します。ツールが分母 = 0 を解き、定義域から取り除くべき \(x\) の値を一覧表示します。定義域は、その値を除いたすべての実数となります。
計算式の解説
分母が一次式の場合は、\(ax + b = 0\) を解いて次が求まります。
$$\text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$分母が二次式の場合は、二次方程式の解の公式を使います。
$$\begin{gathered} \text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$判別式 \(b^2 - 4ac\) を見れば実数解の個数がわかります。正なら2つ、0なら1つ（重解）、負なら実数解はありません。実数解が存在しないときは分母が0になることはなく、定義域はすべての実数となります。
計算例
\(f(x) = 1 / (x^2 - 5x + 6)\) を考えてみましょう。ここでは \(a = 1\)、\(b = -5\)、\(c = 6\) です。判別式は次のようになります。
$$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$解は次のとおりです。
$$\frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ と } 2$$したがって定義域は \(x = 2\) と \(x = 3\) を除いたすべての実数で、\(x \neq 2\) かつ \(x \neq 3\) と書けます。
よくある質問
分母が決して0にならない場合は？ その場合、関数はすべての実数で定義され、定義域はすべての実数 \((-\infty, \infty)\) になります。
分子の零点は定義域に影響しますか？ いいえ。分子の零点は \(x\) 切片（グラフが \(x\) 軸と交わる点）を与えるもので、定義域の制限にはなりません。定義域を制限するのは分母だけです。
除去可能な不連続点（穴）はどうなりますか？ 約分で消える因子であっても、その点では定義域が制限されます。グラフ上は漸近線ではなく「穴」になりますが、定義域には含まれません。このツールは入力された分母をそのまま用いて計算します。
