유리함수의 정의역이란?
유리함수는 두 다항식의 비, 즉 \(f(x) = P(x) / Q(x)\) 형태로 표현되는 함수입니다. 0으로 나누는 것은 정의되지 않기 때문에, 유리함수의 정의역은 분모 \(Q(x)\)를 0으로 만드는 값을 제외한 모든 실수가 됩니다. 이 계산기는 그렇게 제외해야 할 값을 대신 찾아 주므로, 정의역을 빠르고 정확하게 나타낼 수 있습니다.
계산기 사용 방법
먼저 분모가 일차식(\(ax + b\))인지 이차식(\(ax^{2} + bx + c\))인지 선택한 다음, 각 계수를 입력하세요. 계산기는 분모를 0으로 놓고 방정식을 풀어, 정의역에서 빼야 할 \(x\)값을 나열합니다. 그러면 정의역은 그 값들을 제외한 모든 실수가 됩니다.
공식 설명
분모가 일차식이면 \(ax + b = 0\)으로 놓고 풀어 다음을 얻습니다.
$$\text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$분모가 이차식이면 근의 공식을 사용합니다.
$$\begin{gathered} \text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$판별식 \(b^{2} - 4ac\)는 실근의 개수를 알려 줍니다. 양수이면 두 개, 0이면 한 개(중근), 음수이면 실근이 없습니다. 실근이 없으면 분모가 0이 되는 경우가 없으므로 정의역은 모든 실수입니다.
예제 풀이
\(f(x) = 1 / (x^{2} - 5x + 6)\)을 생각해 봅시다. 여기서 \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)입니다. 판별식은 \((-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)입니다. 근은 \((5 \pm 1) / 2 = 3\)과 \(2\)입니다. 따라서 정의역은 \(x = 2\)와 \(x = 3\)을 제외한 모든 실수이며, \(x \neq 2\), \(x \neq 3\)으로 나타냅니다.
자주 묻는 질문
분모가 절대 0이 되지 않으면 어떻게 되나요? 그런 경우 함수는 모든 곳에서 정의되며, 정의역은 모든 실수 \((-\infty, \infty)\)가 됩니다.
분자의 근도 정의역에 영향을 주나요? 아니요. 분자의 근은 \(x\)절편을 만들 뿐 정의역을 제한하지 않습니다. 정의역을 제한하는 것은 오직 분모뿐입니다.
제거 가능한 불연속점(구멍)은 어떻게 되나요? 약분되어 사라지는 인수라 하더라도 그 지점에서는 여전히 정의역이 제한됩니다. 그래프에는 점근선이 아니라 구멍이 생기지만 정의역에서는 제외됩니다. 이 도구는 입력한 그대로의 분모를 기준으로 계산합니다.
