Rasyonel fonksiyonun tanım kümesi nedir?
Rasyonel fonksiyon, iki polinomun oranıdır: \(f(x) = P(x) / Q(x)\). Sıfıra bölme tanımsız olduğundan, bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydayı yani \(Q(x)\)'i sıfır yapan değerler dışındaki tüm gerçek sayılardan oluşur. Bu hesaplayıcı, dışlanması gereken bu değerleri sizin için bulur; böylece tanım kümesini hızlıca ve doğru biçimde yazabilirsiniz.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Önce paydanızın doğrusal (\(ax + b\)) mı yoksa ikinci dereceden (\(ax^{2} + bx + c\)) mi olduğunu seçin, ardından katsayıları girin. Hesaplayıcı paydayı sıfıra eşitleyerek çözer ve tanım kümesinden çıkarılması gereken \(x\) değerlerini listeler. Tanım kümesi de bu değerler hariç tüm gerçek sayılardır.
Formülün açıklaması
Doğrusal bir payda için \(ax + b = 0\) denklemini kurup çözersiniz ve sonucunu elde edersiniz:
$$\text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$İkinci dereceden bir payda içinse ikinci derece (diskriminant) formülünü kullanırsınız:
$$\begin{gathered} \text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$Diskriminant \(b^{2} - 4ac\), kaç tane gerçek kök bulunduğunu gösterir: pozitifse iki, sıfırsa bir (çakışık), negatifse hiç gerçek kök yoktur. Gerçek kök yoksa payda hiçbir zaman sıfır olmaz ve tanım kümesi tüm gerçek sayılardır.
Çözümlü örnek
\(f(x) = 1 / (x^{2} - 5x + 6)\) fonksiyonunu ele alalım. Burada \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)'dır. Diskriminant \((-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\) olur. Kökler ise \((5 \pm 1) / 2 = 3\) ve \(2\)'dir. Dolayısıyla tanım kümesi, \(x = 2\) ve \(x = 3\) dışındaki tüm gerçek sayılardır; bu da \(x \neq 2\) ve \(x \neq 3\) biçiminde yazılır.
Sıkça Sorulan Sorular
Payda hiçbir zaman sıfıra eşit olmazsa ne olur? Bu durumda fonksiyon her yerde tanımlıdır ve tanım kümesi tüm gerçek sayılardır \((-\infty, \infty)\).
Payın kökleri tanım kümesini etkiler mi? Hayır. Payın kökleri \(x\) eksenini kestiği noktaları (\(x\) kesişimlerini) verir, tanım kümesini kısıtlamaz. Tanım kümesini yalnızca payda kısıtlar.
Peki kaldırılabilir süreksizlikler (delikler) için durum nedir? Sadeleşen bir çarpan dahi o noktada tanım kümesini kısıtlar; grafikte orada asimptot yerine bir delik bulunsa bile bu böyledir. Bu araç paydayı, girdiğiniz haliyle dikkate alır.
