¿Qué es el dominio de una función racional?
Una función racional es el cociente de dos polinomios, \(f(x) = P(x) / Q(x)\). Como la división entre cero no está definida, el dominio de una función racional está formado por todos los números reales salvo aquellos que hacen que el denominador \(Q(x)\) valga cero. Esta calculadora identifica por ti esos valores excluidos para que puedas expresar el dominio de forma rápida y correcta.
Cómo usar esta calculadora
Elige si tu denominador es lineal \((ax + b)\) o cuadrático \((ax^{2} + bx + c)\) e introduce los coeficientes. La calculadora resuelve el denominador igualado a cero y enumera los valores de \(x\) que deben eliminarse del dominio. El dominio será entonces todos los números reales excepto esos valores.
La fórmula explicada
Para un denominador lineal, plantea \(ax + b = 0\) y despeja para obtener $$\text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$ Para un denominador cuadrático, aplica la fórmula general $$\begin{gathered} \text{Domain: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$ El discriminante \(b^{2} - 4ac\) indica cuántos ceros reales existen: dos si es positivo, uno (doble) si es cero y ninguno si es negativo. Cuando no hay ceros reales, el denominador nunca se anula y el dominio son todos los números reales.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = 1 / (x^{2} - 5x + 6)\). Aquí \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). El discriminante es $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ Las raíces son $$\frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ y } 2$$ Por tanto, el dominio son todos los números reales excepto \(x = 2\) y \(x = 3\), lo que se escribe como \(x \neq 2\) y \(x \neq 3\).
Preguntas frecuentes
¿Y si el denominador nunca es igual a cero? Entonces la función está definida en todas partes y el dominio son todos los números reales \((-\infty, \infty)\).
¿Los ceros del numerador afectan al dominio? No. Los ceros del numerador dan los puntos de corte con el eje \(x\), no restricciones del dominio. Solo el denominador restringe el dominio.
¿Qué pasa con las discontinuidades evitables (huecos)? Un factor que se cancela sigue restringiendo el dominio en ese punto, aunque la gráfica presente un hueco en lugar de una asíntota. Esta herramienta utiliza el denominador tal como lo introduces.
