Tập xác định của hàm phân thức hữu tỷ là gì?
Hàm phân thức hữu tỷ là thương của hai đa thức, có dạng \(f(x) = P(x) / Q(x)\). Vì phép chia cho 0 không xác định, nên tập xác định của hàm phân thức là toàn bộ số thực, ngoại trừ những giá trị làm cho mẫu số \(Q(x)\) bằng 0. Công cụ này sẽ tìm giúp bạn các giá trị bị loại đó, để bạn nêu được tập xác định một cách nhanh chóng và chính xác.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên, hãy chọn xem mẫu số của bạn là bậc nhất (\(ax + b\)) hay bậc hai (\(ax^2 + bx + c\)), rồi nhập các hệ số tương ứng. Máy tính sẽ giải phương trình mẫu số bằng 0 và liệt kê những giá trị \(x\) cần loại khỏi tập xác định. Khi đó, tập xác định là tất cả số thực trừ các giá trị này.
Giải thích công thức
Với mẫu số bậc nhất, ta đặt \(ax + b = 0\) rồi giải để được
$$\text{Tập xác định: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x + \text{b} \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{\text{b}}{\text{a}}$$Với mẫu số bậc hai, ta dùng công thức nghiệm
$$\begin{gathered} \text{Tập xác định: } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$Biệt thức (delta) \(b^2 - 4ac\) cho biết số nghiệm thực: hai nghiệm nếu delta dương, một nghiệm kép nếu delta bằng 0, và không có nghiệm thực nếu delta âm. Khi không có nghiệm thực, mẫu số không bao giờ bằng 0, nên tập xác định là toàn bộ số thực.
Ví dụ minh họa
Xét hàm \(f(x) = 1 / (x^2 - 5x + 6)\). Ở đây \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Biệt thức là $$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.$$ Các nghiệm là $$\frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ và } 2.$$ Vậy tập xác định là tất cả số thực ngoại trừ \(x = 2\) và \(x = 3\), viết là \(x \neq 2\) và \(x \neq 3\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu mẫu số không bao giờ bằng 0 thì sao? Khi đó hàm số xác định ở mọi nơi và tập xác định là toàn bộ số thực \((-\infty, \infty)\).
Các nghiệm của tử số có ảnh hưởng đến tập xác định không? Không. Nghiệm của tử số cho ta giao điểm với trục hoành (x-intercept), chứ không phải điều kiện ràng buộc tập xác định. Chỉ có mẫu số mới hạn chế tập xác định.
Còn điểm gián đoạn khử được (lỗ hổng) thì sao? Một nhân tử có thể rút gọn vẫn hạn chế tập xác định tại điểm đó, dù đồ thị ở đó là một lỗ hổng chứ không phải tiệm cận. Công cụ này sử dụng mẫu số đúng như bạn nhập vào.
