Tổng của cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số hạng được tạo ra bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số cố định gọi là công bội (r). Ví dụ, dãy 2, 6, 18, 54 là một cấp số nhân với số hạng đầu \(a_1 = 2\) và công bội \(r = 3\). Tổng của n số hạng đầu được gọi là tổng riêng phần, ký hiệu là \(S_n\). Máy tính này sẽ tính \(S_n\) ngay lập tức khi bạn nhập \(a_1\), \(r\) và \(n\).
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập ba giá trị: số hạng đầu (a₁), công bội (r) và số số hạng muốn cộng (n). Máy tính sẽ trả về tổng cần tìm, số hạng cuối aₙ, đồng thời xác nhận đã cộng bao nhiêu số hạng. Công cụ hỗ trợ cả công bội dương lẫn âm, cũng như phân số và số thập phân.
Giải thích công thức
Khi \(r \neq 1\), công thức rút gọn là $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$ Công thức này được suy ra bằng cách viết tổng ra, nhân cả tổng với r, rồi trừ hai biểu thức cho nhau để hầu hết các số hạng triệt tiêu. Khi \(r = 1\), mọi số hạng đều bằng \(a_1\), nên tổng đơn giản là \(S_n = a_1 \times n\) và không thể dùng công thức chuẩn (vì sẽ dẫn đến phép chia cho 0). Máy tính này tự động xử lý trường hợp \(r = 1\).
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a_1 = 2\), \(r = 3\) và \(n = 5\). Khi đó \(r^n = 3^5 = 243\), nên $$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$ Bạn có thể kiểm tra lại bằng cách cộng trực tiếp các số hạng: \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\). Số hạng cuối là \(a_n = 2 \times 3^4 = 162\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu công bội nằm trong khoảng từ −1 đến 1 thì sao? Công thức vẫn áp dụng được với mọi giá trị n hữu hạn. Nếu muốn tính tổng vô hạn với \(|r| < 1\), hãy dùng công thức \(S = \frac{a_1}{1 - r}\).
Công bội có thể âm không? Có. Công bội âm tạo ra một dãy số đan dấu, và công thức vẫn xử lý chính xác trường hợp này.
Điều gì xảy ra khi r = 1? Dãy số trở thành dãy hằng, nên \(S_n = a_1 \times n\). Máy tính tự động nhận diện trường hợp này để tránh phép chia cho 0.
