等比数列の和とは？
等比数列とは、前の項に一定の数（公比 \(r\)）を掛けることで次の項が決まる数の並びです。たとえば 2, 6, 18, 54 は、初項 \(a_1 = 2\)、公比 \(r = 3\) の等比数列です。初項から \(n\) 項までを足し合わせた値を「部分和」と呼び、\(S_n\) と表します。この計算機を使えば、\(a_1\)・\(r\)・\(n\) を入力するだけで \(S_n\) を一瞬で求められます。
計算機の使い方
入力するのは 3 つの値だけです。初項（\(a_1\)）、公比（\(r\)）、そして足し合わせたい項数（\(n\)）を入力してください。計算機は和の合計に加えて、末項 \(a_n\) と、実際に足した項数も表示します。公比は正の数でも負の数でもよく、分数や小数にも対応しています。
公式の解説
\(r \neq 1\) のとき、和の公式は次で表されます。
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$この式は、和を書き出したものに \(r\) を掛け、その 2 つの式を引き算することで導かれます。すると、ほとんどの項が打ち消し合って整理できるのです。一方、\(r = 1\) のときはすべての項が \(a_1\) と等しくなるため、和は単純に \(S_n = a_1 \times n\) となり、標準の公式は使えません（分母が 0 になってしまうためです）。この計算機は \(r = 1\) の場合も自動で正しく処理します。
計算例
\(a_1 = 2\)、\(r = 3\)、\(n = 5\) とします。このとき \(r^{n} = 3^{5} = 243\) なので、
$$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$となります。実際に項を足して確かめてみましょう。\(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\) で一致します。また、末項は \(a_n = 2 \times 3^{4} = 162\) です。
よくある質問
公比が −1 と 1 の間のときはどうなりますか？ 有限の \(n\) であれば、公式はそのまま使えます。なお \(|r| < 1\) で無限に足し続ける「無限等比級数」の場合は、\(S = \dfrac{a_1}{1 - r}\) を使います。
公比は負の数でもよいですか？ はい。負の公比では符号が交互に入れ替わる数列になりますが、公式は問題なく正しく計算できます。
\(r = 1\) のときはどうなりますか？ すべての項が同じ値になるため、\(S_n = a_1 \times n\) となります。この計算機は \(r = 1\) を自動で判定し、0 での割り算を回避します。
