什麼是等比數列的和？
等比數列（geometric sequence）是一串數字，後一項都由前一項乘上一個固定的數而得，這個固定的數稱為「公比」（\(r\)）。舉例來說，2、6、18、54 就是一個等比數列，其首項 \(a_1 = 2\)、公比 \(r = 3\)。前 \(n\) 項相加得到的結果稱為部分和（partial sum），記作 \(S_n\)。本計算器只要輸入 \(a_1\)、\(r\) 與 \(n\)，就能瞬間算出 \(S_n\)。
如何使用本計算器
請輸入三個數值：首項（\(a_1\)）、公比（\(r\)），以及你想相加的項數（\(n\)）。計算器會回傳總和、最後一項 \(a_n\)，並確認共加總了幾項。無論公比是正數、負數，或是分數、小數，都能正確處理。
公式說明
當 \(r \neq 1\) 時，封閉式公式為 $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$ 它的推導方式是：先寫出整個和，再將它乘以 \(r\)，然後把兩式相減，這樣絕大部分的項都會互相抵消，最後即可整理出此公式。當 \(r = 1\) 時，每一項都等於 \(a_1\)，因此總和直接是 $$S_n = a_1 \times n$$ 此時不能套用標準公式（否則會出現除以零的情況）。本計算器會自動偵測並處理 \(r = 1\) 的情形。
範例演算
假設 \(a_1 = 2\)、\(r = 3\)、\(n = 5\)。則 \(r^{n} = 3^5 = 243\)，因此 $$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$ 你可以逐項相加來驗證：\(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\)。而最後一項 \(a_n = 2 \times 3^4 = 162\)。
常見問題
如果公比介於 −1 與 1 之間呢？對於任何有限的 \(n\)，這個公式都依然成立。若是要計算 \(|r| < 1\) 的無窮級數和，則改用 $$S = \frac{a_1}{1 - r}$$
公比可以是負數嗎？可以。負的公比會產生正負交替的數列，而此公式仍能正確計算。
當 \(r = 1\) 時會怎樣？此時數列為常數列，因此 $$S_n = a_1 \times n$$ 計算器會自動偵測這種情形，以避免除以零的錯誤。
