等比数列前n项和计算器

输入计算

首项 (a₁)

公比 (r)

项数 (n)

结果

前 n 项和 (Sₙ)

242

等比数列求和

项数 (n)	5
末项 (aₙ)	162

什么是等比数列的和？

等比数列是这样一串数字：每一项都由前一项乘以一个固定的数得到，这个固定的数叫做公比（\(r\)）。例如 2、6、18、54 就是一个等比数列，其中首项 \(a_1 = 2\)，公比 \(r = 3\)。前 \(n\) 项相加的结果称为前 \(n\) 项和，记作 \(S_n\)。本计算器只需输入 \(a_1\)、\(r\) 和 \(n\)，就能立即算出 \(S_n\)。

等比数列的每一项都是前一项乘以公比 \(r\)。

如何使用本计算器

只需填入三个数值：首项（\(a_1\)）、公比（\(r\)），以及你想相加的项数（\(n\)）。计算器会返回总和、第 \(n\) 项 \(a_n\)，并确认一共求和了多少项。无论公比是正数还是负数，也无论是分数还是小数，都能正确处理。

公式详解

当 \(r \neq 1\) 时，求和的闭式公式为

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$

它的推导思路是：先写出整个和，再把它乘以 \(r\)，然后将两式相减，这样几乎所有项都会相互抵消，最后整理即可得到该公式。当 \(r = 1\) 时，每一项都等于 \(a_1\)，因此和就是 \(S_n = a_1 \times n\)，此时标准公式无法使用（因为分母会变成零）。本计算器会自动识别并处理 \(r = 1\) 的情况。

闭式公式结合了首项 \(a\)、公比 \(r\) 和项数 \(n\)。

实例演算

假设 \(a_1 = 2\)，\(r = 3\)，\(n = 5\)。那么 \(r^n = 3^5 = 243\)，于是

$$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$

你可以把各项逐一相加来验证：\(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\)，结果一致。最后一项 \(a_n = 2 \times 3^4 = 162\)。

常见问题

如果公比介于 −1 和 1 之间怎么办？对于任意有限的 \(n\)，该公式依然成立。如果要计算 \(|r| < 1\) 时的无穷项之和，则应改用公式 \(S = \dfrac{a_1}{1 - r}\)。

公比可以是负数吗？可以。负公比会产生正负交替的数列，本公式同样能正确计算。

当 \(r = 1\) 时会怎样？此时数列是一个常数列，所以 \(S_n = a_1 \times n\)。计算器会自动检测这种情况，从而避免出现除以零的错误。