ما هو مجموع المتتالية الهندسية؟
المتتالية الهندسية هي سلسلة من الأعداد يُحصل فيها على كل حد بضرب الحد السابق بعدد ثابت يُسمى الأساس (\(r\)). على سبيل المثال، الأعداد 2، 6، 18، 54 تكوّن متتالية هندسية حدها الأول \(a_1 = 2\) وأساسها \(r = 3\). ويُسمى مجموع أول \(n\) حدًا بالمجموع الجزئي ويُرمز إليه بـ \(S_n\). تحسب هذه الأداة قيمة \(S_n\) فورًا انطلاقًا من \(a_1\) و\(r\) و\(n\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: الحد الأول (\(a_1\))، والأساس (\(r\))، وعدد الحدود التي تريد جمعها (\(n\)). تعرض لك الحاسبة المجموع الكلي، والحد الأخير \(a_n\)، وتؤكد لك عدد الحدود التي تم جمعها. وهي تدعم الأساسات الموجبة والسالبة على حد سواء، إضافةً إلى الكسور والأعداد العشرية.
شرح القانون
عندما يكون \(r \neq 1\)، يكون القانون المغلق هو $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$ ويُشتق هذا القانون بكتابة المجموع، ثم ضربه في \(r\)، ثم طرح العبارتين بحيث تتلاشى جميع الحدود تقريبًا. أما عندما يكون \(r = 1\)، فإن كل حد يساوي \(a_1\)، ومن ثم يصبح المجموع ببساطة \(S_n = a_1 \times n\)، ولا يمكن استخدام القانون المعتاد (لأنه سيؤدي إلى القسمة على صفر). تعالج هذه الحاسبة حالة \(r = 1\) تلقائيًا.
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 2\)، و\(r = 3\)، و\(n = 5\). عندئذٍ \(r^{n} = 3^{5} = 243\)، ومن ثم $$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$ يمكنك التحقق من ذلك بجمع الحدود: \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\). أما الحد الأخير فهو \(a_n = 2 \times 3^{4} = 162\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الأساس بين −1 و1؟ يظل القانون صالحًا لأي قيمة منتهية لـ \(n\). أما للمجموع اللانهائي حين يكون \(|r| < 1\)، فاستخدم بدلًا من ذلك القانون \(S = \dfrac{a_1}{1 - r}\).
هل يمكن أن يكون الأساس سالبًا؟ نعم. ينتج عن الأساس السالب متتالية متناوبة الإشارة، والقانون يتعامل معها بشكل صحيح.
ماذا يحدث عندما يكون \(r = 1\)؟ تكون المتتالية ثابتة، ومن ثم \(S_n = a_1 \times n\). وتكتشف الحاسبة هذه الحالة تلقائيًا لتجنب القسمة على صفر.
