Qu'est-ce que la somme d'une suite géométrique ?
Une suite géométrique est une liste de nombres dans laquelle on passe d'un terme au suivant en multipliant par un nombre constant appelé la raison (\(r\)). Par exemple, 2, 6, 18, 54 est une suite géométrique de premier terme \(a_1 = 2\) et de raison \(r = 3\). La somme des \(n\) premiers termes s'appelle une somme partielle, notée \(S_n\). Ce calculateur détermine \(S_n\) instantanément à partir de \(a_1\), \(r\) et \(n\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez trois valeurs : le premier terme (\(a_1\)), la raison (\(r\)) et le nombre de termes à additionner (\(n\)). Le calculateur renvoie la somme totale, le dernier terme \(a_n\) et indique combien de termes ont été additionnés. Les raisons positives comme négatives sont prises en charge, tout comme les fractions et les nombres décimaux.
La formule expliquée
Lorsque \(r \neq 1\), la formule explicite est $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$ On l'obtient en écrivant la somme, en la multipliant par \(r\), puis en soustrayant les deux expressions : presque tous les termes s'annulent alors. Lorsque \(r = 1\), tous les termes sont égaux à \(a_1\), et la somme vaut simplement \(S_n = a_1 \times n\) ; la formule classique ne s'applique plus (elle reviendrait à diviser par zéro). Ce calculateur traite automatiquement le cas \(r = 1\).
Exemple résolu
Prenons \(a_1 = 2\), \(r = 3\) et \(n = 5\). On a alors \(r^{n} = 3^{5} = 243\), donc $$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$ Vous pouvez le vérifier en additionnant les termes : \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\). Le dernier terme vaut \(a_n = 2 \times 3^{4} = 162\).
FAQ
Que se passe-t-il si la raison est comprise entre −1 et 1 ? La formule reste valable pour tout \(n\) fini. Pour une somme infinie avec \(|r| < 1\), utilisez plutôt \(S = \frac{a_1}{1 - r}\).
La raison peut-elle être négative ? Oui. Une raison négative produit une suite alternée, et la formule la gère sans difficulté.
Que se passe-t-il lorsque \(r = 1\) ? La suite est constante, donc \(S_n = a_1 \times n\). Le calculateur détecte ce cas automatiquement afin d'éviter une division par zéro.
