등비수열의 합이란?
등비수열은 각 항이 바로 앞 항에 일정한 수, 즉 공비(\(r\))를 곱해 만들어지는 수열입니다. 예를 들어 2, 6, 18, 54는 첫째항 \(a_1 = 2\), 공비 \(r = 3\)인 등비수열입니다. 이 수열의 처음 \(n\)개 항을 더한 값을 부분합이라 하며, 기호로는 \(S_n\)으로 나타냅니다. 이 계산기는 \(a_1\), \(r\), \(n\)만 입력하면 \(S_n\)을 바로 계산해 줍니다.
계산기 사용 방법
세 가지 값을 입력하세요. 첫째항(\(a_1\)), 공비(\(r\)), 그리고 더하고 싶은 항의 개수(\(n\))입니다. 계산기는 전체 합과 마지막 항 \(a_n\)을 함께 보여 주고, 몇 개의 항을 더했는지도 확인해 줍니다. 공비가 양수든 음수든, 또 분수나 소수든 모두 계산할 수 있습니다.
공식 자세히 보기
\(r \neq 1\)일 때 닫힌 형태의 공식은 $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$입니다. 이 공식은 합 전체를 적은 뒤 양변에 \(r\)을 곱하고, 두 식을 서로 빼면 거의 모든 항이 소거되는 원리로 유도됩니다. 만약 \(r = 1\)이라면 모든 항이 \(a_1\)로 똑같으므로 합은 단순히 \(S_n = a_1 \times n\)이 되고, 이때는 분모가 0이 되어 위 공식을 그대로 쓸 수 없습니다. 이 계산기는 \(r = 1\)인 경우를 자동으로 구분해 처리합니다.
예제 풀이
\(a_1 = 2\), \(r = 3\), \(n = 5\)라고 해 봅시다. \(r^{n} = 3^5 = 243\)이므로 $$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$가 됩니다. 직접 더해서 확인할 수도 있습니다. \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\). 그리고 마지막 항은 \(a_n = 2 \times 3^4 = 162\)입니다.
자주 묻는 질문
공비가 −1과 1 사이이면 어떻게 되나요? 유한한 \(n\)에 대해서는 공식이 그대로 성립합니다. 다만 \(|r| < 1\)인 무한급수의 합을 구할 때는 \(S = \dfrac{a_1}{1 - r}\) 공식을 사용하세요.
공비가 음수일 수도 있나요? 네. 음수 공비는 부호가 번갈아 바뀌는 수열을 만들며, 공식은 이 경우도 정확하게 계산합니다.
\(r = 1\)이면 어떻게 되나요? 수열이 상수가 되므로 \(S_n = a_1 \times n\)입니다. 계산기는 분모가 0이 되는 것을 막기 위해 이 경우를 자동으로 인식합니다.
