¿Qué es la suma de una progresión geométrica?
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón (\(r\)). Por ejemplo, 2, 6, 18, 54 es geométrica, con primer término \(a_1 = 2\) y razón \(r = 3\). La suma de los primeros \(n\) términos se conoce como suma parcial y se representa como \(S_n\). Esta calculadora obtiene \(S_n\) al instante a partir de \(a_1\), \(r\) y \(n\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres valores: el primer término (\(a_1\)), la razón (\(r\)) y el número de términos que quieres sumar (\(n\)). La calculadora te devuelve la suma total, el último término \(a_n\) y confirma cuántos términos se han sumado. Admite razones tanto positivas como negativas, así como fracciones y decimales.
La fórmula explicada
Cuando \(r \neq 1\), la fórmula cerrada es $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}.$$ Se deduce escribiendo la suma, multiplicándola por \(r\) y restando ambas expresiones, de modo que casi todos los términos se cancelan. Cuando \(r = 1\), todos los términos son iguales a \(a_1\), por lo que la suma es simplemente \(S_n = a_1 \times n\) y no puede aplicarse la fórmula estándar (dividiría entre cero). Esta calculadora gestiona automáticamente el caso \(r = 1\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(a_1 = 2\), \(r = 3\) y \(n = 5\). Entonces \(r^{n} = 3^5 = 243\), de modo que $$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242.$$ Puedes comprobarlo sumando los términos: \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\). El último término es \(a_n = 2 \times 3^4 = 162\).
Preguntas frecuentes
¿Y si la razón está entre −1 y 1? La fórmula sigue siendo válida para cualquier \(n\) finito. Para una suma infinita con \(|r| < 1\), utiliza en su lugar \(S = \frac{a_1}{1 - r}\).
¿La razón puede ser negativa? Sí. Una razón negativa genera una sucesión alternada, y la fórmula la procesa correctamente.
¿Qué ocurre cuando r = 1? La sucesión es constante, así que \(S_n = a_1 \times n\). La calculadora lo detecta automáticamente para evitar dividir entre cero.
