Geometrik dizinin toplamı nedir?
Geometrik dizi, her terimin bir önceki terimin ortak çarpan (r) adı verilen sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edildiği bir sayı dizisidir. Örneğin 2, 6, 18, 54 dizisi geometriktir; ilk terimi \(a_1 = 2\), ortak çarpanı ise \(r = 3\)'tür. İlk n terimin toplamına kısmi toplam denir ve \(S_n\) ile gösterilir. Bu hesaplama aracı, \(a_1\), \(r\) ve \(n\) değerlerinden \(S_n\)'i anında hesaplar.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Üç değer girin: ilk terim (\(a_1\)), ortak çarpan (\(r\)) ve toplamak istediğiniz terim sayısı (\(n\)). Hesaplama aracı, toplamın yanı sıra son terim \(a_n\) değerini de verir ve kaç terimin toplandığını gösterir. Hem pozitif hem negatif çarpanlar, ayrıca kesirli ve ondalıklı sayılar da desteklenir.
Formülün açıklaması
\(r \neq 1\) olduğunda kapalı form formülü $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$ şeklindedir. Bu formül, toplamı yazıp r ile çarparak ve iki ifadeyi birbirinden çıkararak elde edilir; bu işlem sonucunda neredeyse tüm terimler birbirini götürür. \(r = 1\) olduğunda her terim \(a_1\)'e eşit olur, dolayısıyla toplam yalnızca \(S_n = a_1 \times n\) olur ve standart formül kullanılamaz (çünkü sıfıra bölme oluşur). Bu hesaplama aracı \(r = 1\) durumunu otomatik olarak ele alır.
Çözümlü örnek
\(a_1 = 2\), \(r = 3\) ve \(n = 5\) olsun. Bu durumda \(r^n = 3^5 = 243\) olur, dolayısıyla $$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$ bulunur. Terimleri toplayarak doğrulayabilirsiniz: \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\). Son terim ise \(a_n = 2 \times 3^4 = 162\)'dir.
Sık sorulan sorular
Ortak çarpan −1 ile 1 arasındaysa ne olur? Formül herhangi bir sonlu n değeri için yine geçerlidir. \(|r| < 1\) olan sonsuz bir toplam için ise \(S = \frac{a_1}{1 - r}\) formülünü kullanın.
Ortak çarpan negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir çarpan, işareti sırayla değişen (alternatif) bir dizi oluşturur ve formül bu durumu doğru biçimde ele alır.
r = 1 olduğunda ne olur? Dizi sabittir, yani tüm terimler eşittir; bu nedenle \(S_n = a_1 \times n\) olur. Hesaplama aracı sıfıra bölmeyi önlemek için bu durumu otomatik olarak algılar.
