Collatz sanısı nedir?
3n+1 problemi olarak da bilinen Collatz sanısı, matematiğin henüz çözülememiş en ünlü problemlerinden biridir. Herhangi bir pozitif tam sayıyla başlayın. Sayı çiftse ikiye bölün; tekse üçle çarpıp bir ekleyin. Aynı işlemi elde ettiğiniz her yeni sayıya tekrar uygulayın. Sanıya göre hangi sayıyla başlarsanız başlayın, dizi eninde sonunda mutlaka 1'e ulaşır.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Pozitif bir tam sayı girin; araç arka planda Collatz dizisinin tamamını oluşturur. Size hem durma süresini (1'e ulaşmak için gereken adım sayısı) hem de dizinin geri inmeden önce tırmandığı en yüksek değeri gösterir. Bu, farklı başlangıç sayılarının ne kadar çeşitli davranabildiğini keşfetmenin harika bir yoludur.
Formülün açıklaması
Kural parçalı olarak tanımlanır:
$$f(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{if } n \equiv 0 \pmod{2} \\[0.6em] 3n+1 & \text{if } n \equiv 1 \pmod{2} \end{cases} \qquad n_0 = \text{Starting number}$$n çiftse \(f(n) = n/2\), n tekse \(f(n) = 3n + 1\). Dizi 1 değerine ulaştığında \(1, 4, 2, 1\) döngüsüne girer; bu yüzden hesaplayıcı saymayı 1'de durdurur. \(f\) fonksiyonunun toplam kaç kez uygulandığı ise durma süresini verir.
Çözümlü örnek
6 ile başlayalım. 6 çifttir, dolayısıyla 6'dan 3'e geçeriz (1. adım). 3 tektir, 3'ten 10'a (2. adım). Ardından 10'dan 5'e (3. adım), 5'ten 16'ya (4. adım), 16'dan 8'e (5. adım), 8'den 4'e (6. adım), 4'ten 2'ye (7. adım) ve 2'den 1'e (8. adım). Toplam 8 adım sürer ve ulaşılan en yüksek değer 16'dır.
Sıkça sorulan sorular
Sanı kanıtlandı mı? Hayır. Çok geniş sayı aralıkları için bilgisayarlarla doğrulanmıştır, ancak genel bir kanıtı bulunmamaktadır.
Dizi neden bazen bu kadar büyüyor? Tek sayı adımları değeri üçle çarptığı için, üst üste gelen tek sayılar bölme adımları onları aşağı çekene dek sayıları çok yükseğe taşıyabilir.
Durma süresi ne anlama geliyor? Değer ilk kez 1'e eşit olana dek kuralın kaç kez uygulandığını gösteren sayıdır, yani basitçe adım sayısıdır.
