कोलैट्ज़ अनुमान क्या है?
कोलैट्ज़ अनुमान, जिसे \(3n+1\) समस्या भी कहा जाता है, गणित की सबसे मशहूर अनसुलझी पहेलियों में से एक है। किसी भी धनात्मक पूर्णांक से शुरुआत कीजिए। अगर संख्या सम (even) है, तो उसे दो से भाग दीजिए। अगर संख्या विषम (odd) है, तो उसे तीन से गुणा करके एक जोड़ दीजिए। हर नई संख्या के साथ यही प्रक्रिया दोहराते जाइए। अनुमान कहता है कि आप चाहे किसी भी संख्या से शुरू करें, यह अनुक्रम अंततः 1 तक पहुँच ही जाएगा।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कोई भी धनात्मक पूर्ण संख्या दर्ज कीजिए और यह टूल पर्दे के पीछे पूरा कोलैट्ज़ अनुक्रम तैयार कर देता है। यह आपको बताता है कि रुकने का समय (stopping time) कितना है (यानी 1 तक पहुँचने में कितने चरण लगे) और सबसे ऊँचा मान क्या रहा, जहाँ तक अनुक्रम चढ़ने के बाद वापस नीचे आता है। यह देखने का बढ़िया तरीका है कि अलग-अलग शुरुआती संख्याएँ कितने अलग-अलग ढंग से व्यवहार करती हैं।
सूत्र की व्याख्या
यह नियम खंडवार (piecewise) परिभाषित है: जब \(n\) सम हो तो \(f(n) = n/2\), और जब \(n\) विषम हो तो \(f(n) = 3n + 1\)। जैसे ही मान 1 तक पहुँचता है, अनुक्रम 1, 4, 2, 1 के चक्र में फँस जाता है, इसलिए कैलकुलेटर 1 पर गिनती रोक देता है। \(f\) को कुल कितनी बार लागू करना पड़ा, वही रुकने का समय (stopping time) है।
$$f(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{if } n \equiv 0 \pmod{2} \\[0.6em] 3n+1 & \text{if } n \equiv 1 \pmod{2} \end{cases} \qquad n_0 = \text{Starting number}$$हल किया हुआ उदाहरण
6 से शुरू कीजिए। यह सम है, इसलिए \(6 \to 3\) (चरण 1)। 3 विषम है, इसलिए \(3 \to 10\) (चरण 2)। \(10 \to 5\) (चरण 3), \(5 \to 16\) (चरण 4), \(16 \to 8\) (चरण 5), \(8 \to 4\) (चरण 6), \(4 \to 2\) (चरण 7), \(2 \to 1\) (चरण 8)। इसमें 8 चरण लगते हैं और पहुँचा सबसे ऊँचा मान 16 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह अनुमान सिद्ध हो चुका है? नहीं। संख्याओं की बहुत बड़ी श्रेणियों के लिए इसे कंप्यूटर से जाँचा जा चुका है, लेकिन कोई सामान्य प्रमाण आज तक मौजूद नहीं है।
अनुक्रम कभी-कभी इतना बड़ा क्यों हो जाता है? विषम चरणों में संख्या तीन गुना हो जाती है, इसलिए लगातार कई विषम मान आने पर संख्याएँ बहुत ऊँची चली जाती हैं, और फिर भाग वाले चरण उन्हें नीचे लाते हैं।
रुकने के समय का क्या मतलब है? यह बस इस बात की गिनती है कि मान के पहली बार 1 के बराबर होने से पहले नियम को कितनी बार लागू किया गया।
