सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान (मॉड्यूलस) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

वास्तविक भाग (a)

काल्पनिक भाग (b)

परिणाम

परिमाण (मॉड्यूलस) |a + bi|

5

for 3 + 4i

आर्ग्युमेंट (रेडियन)	0.9273 rad
आर्ग्युमेंट (डिग्री)	53.1301°

सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान क्या होता है?

किसी सम्मिश्र संख्या a + bi का निरपेक्ष मान (जिसे मॉड्यूलस या परिमाण भी कहते हैं) सम्मिश्र तल में उसकी मूल बिंदु (origin) से दूरी होती है। इसे \(|a + bi|\) लिखा जाता है और यह हमेशा एक अऋणात्मक (non-negative) वास्तविक संख्या होती है। चूँकि वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b मिलकर एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं, इसलिए मॉड्यूलस उसका कर्ण (hypotenuse) होता है — जिसे सीधे पाइथागोरस प्रमेय से निकाला जा सकता है।

मापांक सम्मिश्र तल पर मूल बिंदु से बिंदु a + bi तक की दूरी है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको मॉड्यूलस के साथ-साथ आर्ग्युमेंट (यानी संख्या का कोण) रेडियन और डिग्री दोनों में बताएगा। दोनों भागों के लिए ऋणात्मक मान भी डाले जा सकते हैं।

सूत्र की व्याख्या

मॉड्यूलस इस प्रकार निकाला जाता है:

$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

हर भाग का वर्ग करने से उसका चिह्न (sign) हट जाता है, इसलिए परिणाम केवल वास्तविक और काल्पनिक भागों के आकार पर निर्भर करता है। आर्ग्युमेंट \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) से निकाला जाता है, जो चारों चतुर्थांशों (quadrants) में सही कोण देता है।

यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से आता है: मापांक उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ a और b हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए सम्मिश्र संख्या 3 + 4i है। तब \(a^{2} = 9\) और \(b^{2} = 16\), इसलिए \(a^{2} + b^{2} = 25\)। 25 का वर्गमूल 5 है, अतः \(|3 + 4i| = 5\)। आर्ग्युमेंट \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) रेडियन \(\approx 53.13^{\circ}\) होगा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या मॉड्यूलस कभी ऋणात्मक हो सकता है? नहीं। चूँकि यह वर्गों के योग का वर्गमूल है, इसलिए मॉड्यूलस हमेशा शून्य या धनात्मक ही होता है।

अगर a और b दोनों शून्य हों तो क्या होगा? तब सम्मिश्र संख्या 0 होगी और उसका मॉड्यूलस भी 0 होगा। ऐसे में आर्ग्युमेंट अपरिभाषित (undefined) होता है, पर परंपरागत रूप से इसे 0 माना जाता है।

इसे निरपेक्ष मान क्यों कहते हैं? यह वास्तविक संख्या के निरपेक्ष मान का ही विस्तृत रूप है: किसी वास्तविक संख्या (जहाँ \(b = 0\)) के लिए \(|a + 0i| = |a|\) होता है, यानी शून्य से वही जानी-पहचानी दूरी।