सम्मिश्र संख्या का मापांक क्या होता है?
सम्मिश्र संख्या को \(a + bi\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(a\) वास्तविक भाग (real part) है और \(b\) काल्पनिक भाग (imaginary part)। मापांक — जिसे निरपेक्ष मान (absolute value) या परिमाण (magnitude) भी कहते हैं — सम्मिश्र तल (complex plane) में मूल बिंदु से बिंदु \((a, b)\) तक की दूरी है। यह कैलकुलेटर इसी दूरी की गणना करता है और साथ ही संख्या का आर्ग्युमेंट (कोण) भी बताता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग \(a\) और काल्पनिक भाग \(b\) दर्ज करें। टूल तुरंत \(|a + bi|\) दिखा देगा, साथ ही गणना में इस्तेमाल होने वाले वर्गित घटक \(a^2\) और \(b^2\) भी, और आर्ग्युमेंट को रेडियन व डिग्री दोनों में बता देगा।
सूत्र की पूरी समझ
मापांक का सूत्र है
$$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$यह सीधे-सीधे पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग है: \(a\) और \(b\) एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं, और मापांक उसका कर्ण है। चूँकि दोनों पदों का वर्ग लिया जाता है, इसलिए परिणाम हमेशा अऋणात्मक (शून्य या धनात्मक) रहता है। आर्ग्युमेंट \(\operatorname{atan2}(b, a)\) से निकाला जाता है, जो हर चतुर्थांश (quadrant) को सही ढंग से संभालता है।
हल किया हुआ उदाहरण
सम्मिश्र संख्या \(3 + 4i\) के लिए हम निकालते हैं \(a^2 = 9\) और \(b^2 = 16\)। इन्हें जोड़ने पर 25 मिलता है, और 25 का वर्गमूल 5 होता है। इसलिए
$$|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$आर्ग्युमेंट \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) रेडियन है, यानी लगभग \(53.13°\)।
सामान्य जटिल संख्याएं और उनका मापांक
सामान्यतः प्रयुक्त जटिल संख्याओं के लिए मापांक और तर्क। तर्क \(\operatorname{atan2}(b,a)\) से प्रधान मान का उपयोग करते हैं, जो \((-180^\circ, 180^\circ]\) की सीमा में है।
| \(a+bi\) | मापांक \(|a+bi|\) | तर्क (रेडियन) | तर्क (डिग्री) |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0 (अपरिभाषित) | 0° (अपरिभाषित) |
नोट: \(0+0i\) का तर्क अपरिभाषित है क्योंकि बिंदु मूल बिंदु पर है; अधिकांश कार्यान्वयन परंपरा के अनुसार 0 लौटाते हैं।
मुख्य शर्तें
- जटिल संख्या
- \(a + bi\) के रूप की एक संख्या, जहां \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएं हैं और \(i\) काल्पनिक इकाई है जो \(i^2 = -1\) को संतुष्ट करती है।
- वास्तविक भाग (a)
- \(a+bi\) का घटक \(a\) जो जटिल तल के क्षैतिज (वास्तविक) अक्ष के साथ स्थित है।
- काल्पनिक भाग (b)
- \(a+bi\) में काल्पनिक इकाई का वास्तविक गुणांक \(b\); यह ऊर्ध्वाधर (काल्पनिक) अक्ष के साथ स्थित है। ध्यान दें कि काल्पनिक भाग संख्या \(b\) है, \(bi\) नहीं।
- मापांक / निरपेक्ष मान
- जटिल तल में मूल बिंदु से बिंदु \((a,b)\) तक की दूरी, जिसे \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\) के रूप में लिखा जाता है। यह हमेशा अऋणात्मक होती है।
- तर्क
- धनात्मक वास्तविक अक्ष और मूल बिंदु से \((a,b)\) तक की रेखा के बीच का कोण \(\theta\), जिसे वामावर्त मापा जाता है। मापांक के साथ मिलकर यह ध्रुवीय रूप \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) देता है।
- जटिल तल
- एक द्विआयामी तल (जिसे आर्गैंड आरेख भी कहा जाता है) जिसमें क्षैतिज अक्ष वास्तविक भाग को दर्शाता है और ऊर्ध्वाधर अक्ष काल्पनिक भाग को दर्शाता है, जो प्रत्येक जटिल संख्या को एक बिंदु के रूप में खींचने देता है।
- atan2 फ़ंक्शन
- एक दो-तर्क आर्कटेंजेंट, \(\operatorname{atan2}(b, a)\), जो सभी चार चतुर्थांशों में सही कोण लौटाता है (सीमा \((-\pi, \pi]\))। सादे \(\arctan(b/a)\) के विपरीत, यह कोण को सही चतुर्थांश में रखने के लिए \(a\) और \(b\) दोनों के चिन्हों का उपयोग करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या मापांक कभी ऋणात्मक हो सकता है? नहीं। चूँकि यह वर्गों के योग का वर्गमूल है, इसलिए मापांक हमेशा शून्य या धनात्मक ही होता है।
अगर \(a\) और \(b\) दोनों शून्य हों तो? तब मापांक 0 होता है और परंपरा के अनुसार आर्ग्युमेंट भी 0 माना जाता है।
मापांक और आर्ग्युमेंट में क्या अंतर है? मापांक बताता है कि संख्या मूल बिंदु से कितनी दूर है, जबकि आर्ग्युमेंट धनात्मक वास्तविक अक्ष से उसकी दिशा (कोण) बताता है।
