Mô-đun của số phức là gì?
Một số phức được viết dưới dạng a + bi, trong đó a là phần thực và b là phần ảo. Mô-đun (còn gọi là giá trị tuyệt đối hay độ lớn) chính là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm (a, b) trên mặt phẳng phức. Công cụ này tính khoảng cách đó, đồng thời cho biết argumen (góc) của số phức.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập phần thực a và phần ảo b của số phức. Công cụ sẽ lập tức trả về giá trị \(|a + bi|\), các thành phần bình phương a² và b² tham gia vào phép tính, cùng argumen được biểu diễn theo cả radian và độ.
Giải thích công thức
Mô-đun được cho bởi công thức $$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Đây thực chất là ứng dụng trực tiếp của định lý Pythagore: a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, còn mô-đun chính là cạnh huyền. Vì cả hai số hạng đều được bình phương nên kết quả luôn không âm. Argumen được tính bằng hàm \(\operatorname{atan2}(b, a)\), nhờ đó xác định đúng góc trong mọi góc phần tư.
Ví dụ minh họa
Với số phức 3 + 4i, ta tính được \(a^2 = 9\) và \(b^2 = 16\). Cộng lại được 25, và căn bậc hai của 25 là 5. Vậy $$|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Argumen là \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) radian, tương đương khoảng 53,13°.
Số Phức Thường Dùng và Mô-đun Của Chúng
Mô-đun và acgumen đối với các số phức thường được sử dụng. Acgumen sử dụng giá trị chính từ \(\operatorname{atan2}(b,a)\), trong khoảng \((-180^\circ, 180^\circ]\).
| \(a+bi\) | Mô-đun \(|a+bi|\) | Acgumen (radian) | Acgumen (độ) |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0 (không xác định) | 0° (không xác định) |
Lưu ý: acgumen của \(0+0i\) không xác định vì điểm nằm tại gốc tọa độ; hầu hết các triển khai trả về 0 theo quy ước.
Các Thuật Ngữ Chính
- Số phức
- Một số có dạng \(a + bi\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số thực và \(i\) là đơn vị ảo thỏa mãn \(i^2 = -1\).
- Phần thực (a)
- Thành phần \(a\) của \(a+bi\) nằm dọc theo trục hoành (trục thực) của mặt phẳng phức.
- Phần ảo (b)
- Hệ số thực \(b\) của đơn vị ảo trong \(a+bi\); nó nằm dọc theo trục tung (trục ảo). Lưu ý rằng phần ảo là số \(b\), không phải \(bi\).
- Mô-đun / giá trị tuyệt đối
- Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm \((a,b)\) trong mặt phẳng phức, ký hiệu \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Nó luôn không âm.
- Acgumen
- Góc \(\theta\) giữa trục thực dương và đường thẳng từ gốc tọa độ đến \((a,b)\), được đo ngược chiều kim đồng hồ. Kết hợp với mô-đun, nó cho dạng cực \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
- Mặt phẳng phức
- Một mặt phẳng hai chiều (còn gọi là sơ đồ Argand) trong đó trục hoành biểu diễn phần thực và trục tung biểu diễn phần ảo, cho phép mỗi số phức được biểu diễn dưới dạng một điểm.
- Hàm atan2
- Một hàm arctangent hai đối số, \(\operatorname{atan2}(b, a)\), trả về góc chính xác trong cả bốn góc phần tư (khoảng \((-\pi, \pi]\)). Không giống như \(\arctan(b/a)\) đơn giản, nó sử dụng dấu của cả \(a\) và \(b\) để đặt góc vào góc phần tư thích hợp.
Câu hỏi thường gặp
Mô-đun có thể âm không? Không. Vì nó là căn bậc hai của một tổng các bình phương nên mô-đun luôn bằng 0 hoặc dương.
Nếu cả a và b đều bằng 0 thì sao? Khi đó mô-đun bằng 0, và theo quy ước argumen được lấy bằng 0.
Mô-đun và argumen khác nhau thế nào? Mô-đun cho biết số phức cách gốc tọa độ bao xa, còn argumen cho biết hướng (góc) tính từ trục thực dương.
