什么是复数的模长？
复数通常写成 \(a + bi\) 的形式，其中 \(a\) 是实部，\(b\) 是虚部。模长（也叫绝对值或模）指的是复平面上点 \((a, b)\) 到原点的距离。本计算器不仅能算出这个距离，还会给出复数的辐角（即角度）。
如何使用本计算器
输入复数的实部 \(a\) 和虚部 \(b\)，工具会立即给出 \(|a + bi|\)、用于计算的平方项 \(a^2\) 和 \(b^2\)，以及分别用弧度和角度表示的辐角。
公式解析
模长的计算公式为 $$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ 这其实就是勾股定理的直接应用：\(a\) 和 \(b\) 相当于直角三角形的两条直角边，而模长就是斜边。由于两项都经过平方，结果永远是非负数。辐角则用 \(\operatorname{atan2}(b, a)\) 求得，它能正确处理四个象限的所有情况。
实例演示
以复数 \(3 + 4i\) 为例，先算出 \(a^2 = 9\)、\(b^2 = 16\)，两者相加等于 \(25\)，再对 \(25\) 开平方得到 \(5\)，因此 $$|3 + 4i| = 5$$ 辐角为 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) 弧度，约合 \(53.13^\circ\)。
常见复数及其模
常用复数的模和辐角。辐角使用来自 \(\operatorname{atan2}(b,a)\) 的主值，范围为 \((-180^\circ, 180^\circ]\)。
| \(a+bi\) | 模 \(|a+bi|\) | 辐角（弧度） | 辐角（度数） |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0（未定义） | 0°（未定义） |
注意：\(0+0i\) 的辐角未定义，因为该点位于原点；按惯例，大多数实现返回 0。
关键术语
- 复数
- 形式为 \(a + bi\) 的数，其中 \(a\) 和 \(b\) 是实数，\(i\) 是满足 \(i^2 = -1\) 的虚数单位。
- 实部 (a)
- \(a+bi\) 的分量 \(a\)，位于复平面的水平（实）轴上。
- 虚部 (b)
- \(a+bi\) 中虚数单位的实系数 \(b\)；它位于竖直（虚）轴上。注意虚部是数字 \(b\)，不是 \(bi\)。
- 模 / 绝对值
- 从原点到复平面中点 \((a,b)\) 的距离，记作 \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)。它总是非负的。
- 辐角
- 从正实轴到从原点到 \((a,b)\) 的线之间的角度 \(\theta\)，逆时针测量。与模结合可得极坐标形式 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)。
- 复平面
- 一个二维平面（也称为阿尔冈图），其中水平轴表示实部，竖直轴表示虚部，使得每个复数都可以绘制为一个点。
- atan2 函数
- 二自变量反正切，\(\operatorname{atan2}(b, a)\)，在所有四个象限返回正确的角度（范围 \((-\pi, \pi]\)）。与普通的 \(\arctan(b/a)\) 不同，它使用 \(a\) 和 \(b\) 的符号将角度放在正确的象限中。
常见问题
模长会是负数吗？不会。因为它是平方和的平方根，所以模长始终为零或正数。
如果 \(a\) 和 \(b\) 都为零会怎样？此时模长为 \(0\)，辐角则按惯例取为 \(0\)。
模长和辐角有什么区别？模长表示复数离原点有多远，而辐角表示从正实轴算起的方向（角度）。
