复数绝对值（模）计算器

输入计算

实部 (a)

虚部 (b)

结果

模长（绝对值）|a + bi|

5

for 3 + 4i

辐角（弧度）	0.9273 rad
辐角（角度）	53.1301°

什么是复数的绝对值？

复数 a + bi 的绝对值（也叫模、模长或幅值）指的是它在复平面上到原点的距离。它记作 \(|a + bi|\)，结果始终是一个非负实数。由于实部 a 与虚部 b 正好构成一个直角三角形的两条直角边，模长就是斜边，可以直接用勾股定理求出。

模是复平面上从原点到点 a + bi 的距离。

如何使用本计算器

分别输入复数的实部 a 和虚部 b，计算器即可返回模长，以及辐角（即该复数的方向角），并同时给出弧度和角度两种形式。实部和虚部都可以输入负数。

公式详解

模长的计算公式为：

$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

对每一项分别平方会消去正负号，因此结果只取决于实部和虚部的大小。辐角则通过 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) 求得，这个函数能在四个象限中都给出正确的角度。

该公式来自勾股定理：模是直角边为 a 和 b 的直角三角形的斜边。

计算实例

以复数 3 + 4i 为例：\(a^{2} = 9\)，\(b^{2} = 16\)，因此 \(a^{2} + b^{2} = 25\)。25 的平方根为 5，所以 $$|3 + 4i| = 5.$$ 辐角为 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) 弧度 \(\approx 53.13^{\circ}\)。

常见问题

模长会是负数吗？不会。因为它是若干平方和的平方根，所以模长始终为零或正数。

如果 a 和 b 都为零会怎样？此时复数就是 0，它的模长也是 0。这时辐角在数学上没有定义，但按惯例返回为 0。

为什么把它叫作"绝对值"？因为它是实数绝对值概念的推广：对于一个实数（即 \(b = 0\)），\(|a + 0i| = |a|\)，正是我们熟悉的"到零点的距离"。