複素数の絶対値とは？
複素数 a + bi の絶対値（モジュラス、または大きさとも呼ばれます）とは、複素平面上で原点からの距離を表す値です。\(|a + bi|\) と書き、つねに 0 以上の実数になります。実部 a と虚部 b が直角三角形の 2 辺をなすため、絶対値はその斜辺にあたり、三平方の定理（ピタゴラスの定理）でそのまま求められます。
この計算ツールの使い方
複素数の実部 a と虚部 b を入力するだけです。絶対値（モジュラス）に加えて、偏角（複素数の角度）をラジアンと度の両方で表示します。実部・虚部のどちらにも負の値を入力できます。
計算式の解説
絶対値は次の式で計算します。
$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
各成分を 2 乗することで符号が消えるため、結果は実部と虚部の大きさだけで決まります。偏角は \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) で求められ、これにより 4 つの象限すべてで正しい角度が得られます。
計算例
複素数 3 + 4i を例に考えてみましょう。\(a^{2} = 9\)、\(b^{2} = 16\) なので、\(a^{2} + b^{2} = 25\) です。25 の平方根は 5 ですから、$$|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ となります。偏角は \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) ラジアン \(\approx 53.13^{\circ}\) です。
よくある質問（FAQ）
絶対値が負になることはありますか？ ありません。2 乗の和の平方根であるため、絶対値はつねに 0 か正の値になります。
a と b が両方とも 0 のときは？ その複素数は 0 となり、絶対値も 0 です。偏角は本来は定義できませんが、慣例として 0 を返します。
なぜ「絶対値」と呼ぶのですか？ 実数の絶対値を拡張した概念だからです。実数の場合（b = 0）は \(|a + 0i| = |a|\) となり、おなじみの「0 からの距離」と一致します。
