ما هي القيمة المطلقة للعدد المركّب؟
القيمة المطلقة (وتُسمّى أيضاً المعيار أو المقدار) للعدد المركّب a + bi هي بُعده عن نقطة الأصل في المستوى المركّب. تُكتب على الصورة |a + bi| وتكون دائماً عدداً حقيقياً غير سالب. وبما أنّ الجزء الحقيقي a والجزء التخيّلي b يمثّلان ضلعَي مثلث قائم الزاوية، فإنّ المعيار هو الوتر — ويمكن إيجاده مباشرة باستخدام نظرية فيثاغورس.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الجزء الحقيقي a والجزء التخيّلي b للعدد المركّب. تُرجع الحاسبة قيمة المعيار إضافة إلى السعة (زاوية العدد) بالراديان والدرجات معاً. ويُسمح بإدخال قيم سالبة لأيٍّ من الجزأين.
شرح الصيغة
يُحسب المعيار وفق المعادلة التالية:
$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
عند تربيع كل مكوّن تختفي أي إشارة سالبة، لذا تعتمد النتيجة على مقدار الجزأين الحقيقي والتخيّلي فقط. أمّا السعة فتُحسب بالعلاقة \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)، التي تعطي الزاوية الصحيحة في الأرباع الأربعة جميعها.
مثال محلول
لنأخذ العدد المركّب 3 + 4i. عندئذٍ \(a^{2} = 9\) و \(b^{2} = 16\)، أي أنّ \(a^{2} + b^{2} = 25\). والجذر التربيعي للعدد 25 هو 5، إذن \(|3 + 4i| = 5\). أمّا السعة فهي \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) راديان \(\approx 53.13^{\circ}\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون المعيار سالباً؟ لا. لأنّه جذر تربيعي لمجموع مربّعات، يكون المعيار دائماً صفراً أو قيمة موجبة.
ماذا لو كان كلٌّ من a و b يساوي صفراً؟ عندئذٍ يكون العدد المركّب مساوياً لـ 0 ويكون معياره 0. أمّا السعة فغير معرّفة، لكن يُرجَع لها العدد 0 عادةً بحسب الاصطلاح المتعارف عليه.
لماذا تُسمّى القيمة المطلقة؟ لأنّها تعميم للقيمة المطلقة للأعداد الحقيقية: ففي حالة العدد الحقيقي (حيث \(b = 0\)) يكون \(|a + 0i| = |a|\)، أي المسافة المألوفة عن الصفر.
