ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
المتتالية الحسابية هي قائمة من الأعداد يزداد فيها كل حد (أو ينقص) بمقدار ثابت يُسمّى أساس المتتالية، ويُرمز له بـ \(d\). تقوم هذه الحاسبة بجمع أول \(n\) حدًّا من هذه المتتالية، بمعلومية الحد الأول \(a_1\)، وأساس المتتالية \(d\)، وعدد الحدود التي ترغب في جمعها. وتُعيد لك المجموع الكلي \(S_n\)، وقيمة الحد الأخير \(a_n\)، إضافةً إلى متوسط الحدود.
طريقة الاستخدام
أدخل الحد الأول \(a_1\)، ثم أساس المتتالية \(d\) (وهو الفرق الثابت بين كل حدّين متتاليين — ويكون سالبًا في المتتالية المتناقصة)، ثم \(n\) وهو عدد الحدود التي تريد جمعها. اضغط على زر الحساب لتظهر لك النتيجة الإجمالية في الحال.
شرح القانون
مجموع أول \(n\) حدًّا يُعطى بالعلاقة $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right).$$ والسبب في صحة هذا القانون أن جمع الحد الأول مع الحد الأخير يعطي دائمًا القيمة نفسها، وهناك \(n\) من هذه الأنصاف المزدوجة. وهناك صيغة مكافئة هي $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right),$$ حيث \(a_n = a_1 + (n-1)d\) هو الحد الأخير.
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 2\)، و\(d = 3\)، و\(n = 5\)، فنحصل على المتتالية: 2، 5، 8، 11، 14. عندئذٍ يكون $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\times 2 + (5-1)\times 3\right) = 2.5 \times (4 + 12) = 2.5 \times 16 = 40.$$ والحد الأخير هو \(2 + 4\times 3 = 14\)، أما المتوسط فهو \(40/5 = 8\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(d\) سالبًا؟ استخدم أساسًا سالبًا في حالة المتتالية المتناقصة — فالقانون يتعامل مع ذلك مباشرةً دون أي تعديل.
هل يمكن أن يكون \(n\) كسرًا؟ لا. فـ \(n\) يمثّل عدد الحدود، لذا يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا.
ما الفرق بين المتتالية والمتسلسلة؟ المتتالية هي القائمة المرتبة من الحدود، أما المتسلسلة فهي مجموع تلك الحدود، وهو بالضبط ما يمثّله \(S_n\).
