ما هي المتتالية الحسابية؟
المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأعداد يزداد فيها كل حد (أو ينقص) بمقدار ثابت يُسمى الفرق المشترك ويُرمز له بـ \(d\). نبدأ من الحد الأول \(a_1\)، ثم نضيف الفرق \(d\) إلى كل حد للحصول على الحد الذي يليه. تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد الحد النوني (\(a_n\)) ومجموع أول \(n\) حدًا (\(S_n\)) فورًا انطلاقًا من ثلاث قيم فقط.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الحد الأول \(a_1\)، ثم الفرق المشترك \(d\) (موجبًا إذا كانت المتتالية متزايدة، وسالبًا إذا كانت متناقصة)، وأخيرًا موضع الحد \(n\) الذي ترغب في الوصول إليه. اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة الحد \(a_n\) والمجموع التراكمي \(S_n\) لجميع الحدود من \(a_1\) حتى \(a_n\).
شرح القانون
نوجد الحد النوني باستخدام القانون $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ لأننا نضيف الفرق المشترك \((n - 1)\) مرة بعد الحد الأول. أما المجموع الجزئي فيعتمد على حيلة الجمع الذكية التي اكتشفها عالم الرياضيات غاوس: $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$ أي متوسط الحد الأول والحد الأخير مضروبًا في عدد الحدود.
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 2\) وأن \(d = 3\) وأن \(n = 10\). الحد العاشر هو $$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29.$$ ومجموع أول 10 حدود هو $$S_n = \frac{10}{2}\left(2 + 29\right) = 5 \times 31 = 155.$$
مقارنة المتتاليات الحسابية عبر سيناريوهات مختلفة
المخرجان الرئيسيان للمتتالية الحسابية هما الحد النوني \(a_n = a_1 + (n-1)d\) والمجموع الجزئي \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). يطبق الجدول أدناه هذه الصيغ على عدة مجموعات من المدخلات الواقعية، بما في ذلك فرق مشترك موجب وآخر سالب (متناقص) وخطوة كسرية.
| الحد الأول \(a_1\) | الفرق المشترك \(d\) | عدد الحدود \(n\) | الحد النوني \(a_n\) | المجموع \(S_n\) | معاينة المتتالية |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
لاحظ كيف يُنتج \(d\) السالب متتالية متناقصة، وكيف يمكن أن يكون المجموع موجباً حتى عندما تصبح الحدود اللاحقة سالبة، طالما أن الحدود المبكرة تفوقها.
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
- الحد الأول \(a_1\)
- قيمة البداية للمتتالية — القيمة عند الموضع \(n = 1\). يتم بناء كل حد آخر بإضافة الفرق المشترك إليه بشكل متكرر.
- الفرق المشترك \(d\)
- المقدار الثابت المضاف من حد إلى الحد التالي: \(d = a_{n} - a_{n-1}\). يعطي \(d\) الموجب متتالية متزايدة، و\(d\) السالب متتالية متناقصة، و\(d = 0\) متتالية ثابتة.
- الحد النوني \(a_n\)
- قيمة الحد عند الموضع \(n\)، توجد مباشرة باستخدام \(a_n = a_1 + (n-1)d\) دون إدراج كل حد في ما بينها.
- المجموع الجزئي \(S_n\)
- مجموع أول \(n\) حد، \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). يقرن الحد الأول والأخير ويضرب بعدد الأزواج.
- موضع الحد \(n\)
- دليل عدد صحيح موجب يخبرك بأي حد تريد (الأول، الثاني، الثالث، …). وهو يساوي أيضاً عدد الحدود التي يتم جمعها في \(S_n\).
- المتتالية الحسابية مقابل المتسلسلة
- المتتالية هي قائمة الحدود المرتبة (5, 7, 9, …)؛ المتسلسلة هي ما تحصل عليه عندما تضيف تلك الحدود معاً. يصف \(a_n\) المتتالية، بينما \(S_n\) هي قيمة المتسلسلة المحدودة المقابلة.
كيفية حسابها يدوياً
استخدم هذا الإجراء للعثور على الحد النوني والمجموع من ثلاثة مدخلات \(a_1\) و\(d\) و\(n\). سننقل المثال \(a_1 = 5\) و\(d = 2\) و\(n = 8\) عبر كل خطوة.
- حدد \(a_1\) و\(d\) و\(n\). اقرأ الحد الأول والخطوة الثابتة بين الحدود والموضع الذي تحتاجه. هنا \(a_1 = 5\) و\(d = 2\) و\(n = 8\).
- احسب الحد النوني. عوّض في \(a_n = a_1 + (n-1)d\):
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\). - احسب المجموع الجزئي. عوّض \(a_1\) و\(a_n\) و\(n\) في \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\):
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\). - تحقق من النتيجة. إدراج الحدود يعطي 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — الأخير هو \(a_8 = 19\) وهي مجموعها 96، مما يؤكد \(S_8\).
إذا كنت بحاجة فقط إلى المجموع وتفضل بالفعل العمل من \(a_1\) و\(d\)، فإن الصيغة المركبة \(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\) تعطي نفس الإجابة في سطر واحد: \(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون الفرق \(d\) سالبًا؟ نعم. الفرق المشترك السالب يُنتج متتالية متناقصة، وتبقى القوانين صحيحة تمامًا دون أي تغيير.
ماذا يمثل \(S_n\)؟ هو مجموع كل الحدود من \(a_1\) حتى \(a_n\) متضمنًا الحد الأخير — أي مجموع جزئي (محدود) وليس متسلسلة لا نهائية.
ماذا لو كان \(n = 1\)؟ في هذه الحالة يكون \(a_n = a_1\) و \(S_n = a_1\)، لأن المتتالية تحتوي على حد واحد فقط.
