ما هو محوّل الأنظمة العددية؟
محوّل الأنظمة العددية هو أداة تنقل الرقم من نظام عددي موضعي إلى آخر — على سبيل المثال من النظام الثنائي (الأساس 2) إلى النظام العشري (الأساس 10)، أو من العشري إلى السداسي العشري (الأساس 16). تخزّن الحواسيب كل شيء في صورة ثنائية، ويقرأ مهندسو الشبكات الأرقام بالنظام السداسي العشري، بينما تعتمد بعض الأنظمة القديمة على النظام الثماني، لذا فإن التحويل بين هذه الأنظمة مهمة يومية في البرمجة والإلكترونيات وحصص علوم الحاسوب. تدعم هذه الأداة الأنظمة الثنائي والثماني والعشري والسداسي العشري في أي اتجاه.
كيفية الاستخدام
اكتب الرقم الذي تريد تحويله، ثم اختر نظامه الحالي من خانة "من الأساس"، وحدد بعد ذلك النظام الذي تريد التحويل إليه من خانة "إلى الأساس". تستخدم الأرقام السداسية العشرية الحروف من A إلى F (ولا فرق بين الحروف الكبيرة والصغيرة). تعرض الحاسبة النتيجة بالنظام الذي اخترته إضافةً إلى ما يقابلها بالنظام العشري، حتى تتمكن دائمًا من التحقق من صحة عملك.
شرح المعادلة
يتم التحويل على مرحلتين. أولًا، يُقرأ الرقم المُدخل ويُحوَّل إلى النظام العشري باستخدام القيمة المكانية: حيث يُضرب كل رقم في الأساس مرفوعًا إلى قوة موضعه. فالرقم الثنائي 1010 يُحسب كالتالي:
$$1\times2^{3} + 0\times2^{2} + 1\times2^{1} + 0\times2^{0} = 8 + 0 + 2 + 0 = 10$$ثانيًا، تُحوَّل هذه القيمة العشرية إلى النظام المطلوب باستخدام القسمة المتكررة: استمر في القسمة على الأساس الجديد واجمع البواقي، ثم اقرأها من الأخير إلى الأول.
$$\text{Decimal} = \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot \text{From Base}^{\,i} \;\longrightarrow\; \text{Output in } \text{To Base}$$
مثال محلول
لنحوّل الرقم السداسي العشري FF إلى النظام العشري. تعطينا القيمة المكانية:
$$F\times16^{1} + F\times16^{0} = 15\times16 + 15\times1 = 240 + 15 = 255$$وللتعبير عن 255 بالنظام الثنائي، تعطينا القسمة المتكررة على 2 النتيجة 11111111 — وهي القيمة القصوى المألوفة لبايت مكوّن من 8 بتات.
جدول مرجعي لتحويل الأساس الشائع
يعرض هذا الجدول القيم المستخدمة بكثرة عبر الأساسات الرقمية الأربعة القياسية. النظام العشري (الأساس 10) هو نظام العد اليومي؛ النظام الثنائي (الأساس 2) والنظام الثماني (الأساس 8) والنظام السادس عشر (الأساس 16) شائعة في الحوسبة. لاحظ كيف أن كل قوة من قوى اثنين — 16، 32، 64، 128، 256 — تُنتج تغييراً نظيفاً برقم واحد في النظام السادس عشر وقوة دقيقة في النظام الثنائي.
| العشري (10) | الثنائي (2) | الثماني (8) | السادس عشر (16) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 32 | 100000 | 40 | 20 |
| 64 | 1000000 | 100 | 40 |
| 128 | 10000000 | 200 | 80 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
المصطلحات الرئيسية شرح
- الأساس (الجذر)
- عدد رموز الأرقام المتميزة التي يستخدمها نظام الترقيم. يستخدم الأساس 10 عشرة رموز (0–9)؛ يستخدم الأساس 2 اثنين (0–1). يحدد الأساس أيضاً المضروب بين المواضع المتجاورة.
- الترميز الموضعي
- نظام تعتمد فيه مساهمة الرقم على موضعه. يمثل كل موضع قوة متتالية من الأساس، تتزايد من اليمين إلى اليسار.
- قيمة الموضع
- القيمة المساهمة من قبل رقم واحد، مساوية للرقم مضروباً في الأساس مرفوع إلى قوة موضعه. على سبيل المثال، الرقم 7 الرئيسي في الثماني 745 له قيمة موضع \(7\times 8^2 = 448\).
- الرقم
- رمز واحد في الرقم. تتراوح الأرقام الصحيحة من 0 إلى (الأساس − 1)؛ السادس عشر يمتد من 0–9 مع الأحرف A–F للقيم 10–15.
- النبل (البت الرباعي)
- مجموعة من 4 بتات. يتم تعيين البت الرباعي الواحد بالضبط إلى رقم سادس عشر واحد (0–F)، وهذا هو السبب في أن تحويل الثنائي إلى السادس عشر يتم بتجميع البتات في بتات رباعية.
- البايت
- مجموعة من 8 بتات (بتتان رباعيتان)، قادرة على تمثيل \(2^8 = 256\) قيمة، من 0 إلى 255 (00 إلى FF بالنظام السادس عشر).
- الرقم الأكثر أهمية (MSD)
- الرقم الأيسر من الرقم، يحمل أعلى قيمة موضع.
- الرقم الأقل أهمية (LSD)
- الرقم الأيمن، يحمل أقل قيمة موضع (الأساس مرفوع إلى القوة 0، أي 1).
- الثنائي (الأساس 2)
- يستخدم الأرقام 0 و 1. لغة الإلكترونيات الرقمية الأصلية، حيث يكون كل بت حالة تشغيل/إيقاف.
- الثماني (الأساس 8)
- يستخدم الأرقام 0–7. يتوافق كل رقم ثماني بالضبط مع 3 بتات ثنائية؛ كانت شائعة تاريخياً في الحوسبة وتُستخدم بعد في أذونات الملفات.
- العشري (الأساس 10)
- يستخدم الأرقام 0–9. النظام القياسي لعد البشر اليومي والحسابات.
- السادس عشر (الأساس 16)
- يستخدم الأرقام 0–9 والأحرف A–F. يمثل النظام الثنائي بشكل مضغوط لأن كل رقم سادس عشر يساوي بالضبط 4 بتات، يُستخدم على نطاق واسع لعناوين الذاكرة وأكواد الألوان.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني الحروف في النظام السداسي العشري؟ في الأساس 16 تكون الأرقام من 0 إلى 9 ثم \(A=10\)، \(B=11\)، \(C=12\)، \(D=13\)، \(E=14\)، \(F=15\).
لماذا يُسمى النظام الثنائي بالأساس 2؟ يستخدم النظام الثنائي رقمين فقط هما 0 و1، بما يطابق حالتي التشغيل والإيقاف للمفاتيح الإلكترونية داخل الحاسوب.
هل يمكنني تحويل الكسور العشرية؟ تعمل هذه الحاسبة مع الأعداد الصحيحة فقط. أما تحويل الكسور بين الأنظمة فيستخدم طريقة منفصلة قائمة على الضرب في الأساس.
