이 계산기로 무엇을 할 수 있나요?
등차수열은 각 항이 일정한 값만큼 커지거나 작아지는 수의 나열로, 이 일정한 차이를 공차 \(d\)라고 합니다. 이 계산기는 첫째항 \(a_1\), 공차 \(d\), 그리고 더하고 싶은 항의 개수 \(n\)을 입력하면 등차수열의 첫 \(n\)항을 모두 더해 줍니다. 결과로 합 \(S_n\), 마지막 항 \(a_n\)의 값, 그리고 항들의 평균을 함께 보여 줍니다.
사용 방법
먼저 첫째항 \(a_1\)을 입력하고, 이어서 공차 \(d\)(연속한 두 항 사이의 일정한 간격으로, 값이 줄어드는 수열이면 음수로 입력)를 적습니다. 마지막으로 더하려는 항의 개수 \(n\)을 넣으세요. '계산하기'를 누르면 누적 합이 곧바로 표시됩니다.
공식 풀이
첫 \(n\)항의 합은 다음과 같습니다.
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$첫째항과 마지막 항을 짝지으면 그 합이 항상 일정하고, 이런 짝이 모두 \(n\)개의 절반만큼 존재하기 때문에 이 공식이 성립합니다. 같은 의미의 다른 형태로는 \(S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)\) 가 있으며, 여기서 마지막 항은 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 로 구합니다.
예제로 살펴보기
\(a_1 = 2\), \(d = 3\), \(n = 5\)라고 하면 수열은 2, 5, 8, 11, 14가 됩니다. 이때 다음과 같습니다.
$$S_n = \frac{5}{2}\left(2\times 2 + (5-1)\times 3\right) = 2.5\times(4 + 12) = 2.5\times 16 = 40$$마지막 항은 \(2 + 4\times 3 = 14\)이고, 평균은 \(40/5 = 8\)입니다.
자주 묻는 질문
\(d\)가 음수면 어떻게 되나요? 값이 점점 작아지는 수열은 공차를 음수로 입력하면 됩니다. 공식이 그대로 처리해 주므로 별도의 조정이 필요 없습니다.
\(n\)을 분수로 넣어도 되나요? 안 됩니다. \(n\)은 항의 개수이므로 반드시 양의 정수여야 합니다.
수열(sequence)과 급수(series)는 무엇이 다른가요? 수열은 순서대로 나열된 항의 목록이고, 급수는 그 항들을 모두 더한 합입니다. 바로 \(S_n\)이 나타내는 것이 이 급수에 해당합니다.
