이 계산기의 기능
이 도구는 항의 개수, 첫째항, 마지막항을 이미 알고 있을 때 등차수열(등차급수)의 합을 계산해 줍니다. 모든 항을 하나하나 더할 필요 없이 세 개의 숫자만 입력하면 합계가 바로 나옵니다.
사용 방법
항의 개수 n, 첫째항 a₁, 마지막항 aₙ을 입력하고 계산 버튼을 누르면 합이 나타납니다. 결과 표에는 평균 항도 함께 표시되는데, 이는 첫째항과 마지막항의 중간값으로, 공식이 왜 성립하는지 직관적으로 이해하는 데 도움이 됩니다.
공식 풀이
합은 다음과 같이 구합니다:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
어린 시절의 카를 프리드리히 가우스가 떠올린 것으로 전해지는 이 아이디어는, 첫째항과 마지막항, 둘째항과 끝에서 둘째항을 차례로 짝지으면 각 짝의 합이 항상 같은 값(\(a_1 + a_n\))이 된다는 점에서 출발합니다. 이런 짝이 \(n/2\)개 있으므로 전체 합은 \(n(a_1 + a_n)/2\)가 됩니다. 모든 항이 일정한 간격으로 배열되어 있기 때문에 전체 항의 평균은 양 끝 항만의 평균과 같고, 합은 그 평균에 항의 개수를 곱한 값이 됩니다.
예제 풀이
수열 1, 3, 5, 7, ..., 19를 생각해 봅시다. 여기서 \(n = 10\), \(a_1 = 1\), \(a_n = 19\)입니다. 합은 다음과 같습니다:
$$S = \frac{10 \times (1 + 19)}{2} = \frac{10 \times 20}{2} = 10 \times 10 = \mathbf{100}.$$
열 개의 홀수를 직접 더해도(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19) 100이 나와 공식이 맞다는 것을 확인할 수 있습니다.
정의 및 용어집
- 등차급수 / 등차수열
- 각 항이 이전 항과 일정한 차이로 나누어지는 수의 목록인 등차수열의 항들의 합. 수열 자체 (1, 4, 7, 10, …)는 등차수열이고, 더한 합계 (1 + 4 + 7 + 10)는 급수입니다.
- n — 항의 개수
- 함께 더해지는 항의 개수. 양의 정수여야 하며, \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)에서 합을 스케일합니다.
- a₁ — 첫 항
- 수열의 시작값으로, 덧셈이 시작되는 항입니다.
- aₙ — 마지막 항
- 합에 포함되는 최종 항 (다섯 번째 항). \(a_1\)과 함께 더한 값의 범위를 설정합니다.
- d — 공차
- 한 항에서 다음 항으로 이동하기 위해 더해지는 상수값으로, \(d = a_{k+1} - a_k\)입니다. 끝점에서 \(d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}\)로 구할 수 있습니다. 양의 \(d\)는 증가하는 수열을 제공하고, 음의 \(d\)는 감소하는 수열을 제공합니다.
- 평균항
- 모든 항의 평균으로, \(\frac{a_1 + a_n}{2}\) (또한 \(\frac{S_n}{n}\))과 같습니다. 항들이 균등하게 배치되어 있으므로, 평균은 단순히 첫 항과 마지막 항의 중점이며, 이것이 \(S_n = n \times \text{(평균항)}\)인 이유입니다.
자주 묻는 질문
항이 반드시 정수여야 하나요? 아닙니다. 연속하는 항 사이의 간격만 일정하다면 소수나 음수를 포함한 어떤 등차수열에도 이 공식을 적용할 수 있습니다.
마지막항을 모르면 어떻게 하나요? 대신 공차 d를 알고 있다면 먼저 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)로 마지막항을 구한 뒤 이 계산기를 사용하세요. 또는 같은 의미의 공식 \(S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]\)를 활용해도 됩니다.
n이 소수일 수도 있나요? 엄밀한 수열에서 \(n\)은 항의 개수이므로 양의 정수여야 합니다. 계산기는 소수를 입력해도 계산은 해 주지만, 의미 있는 결과를 얻으려면 정수를 사용하세요.
