Công cụ này làm gì
Công cụ giúp bạn tính tổng của một cấp số cộng khi đã biết trước số lượng số hạng, giá trị số hạng đầu và giá trị số hạng cuối. Thay vì phải cộng từng số hạng một cách thủ công, bạn chỉ cần nhập ba con số và nhận ngay kết quả tổng.
Cách sử dụng
Nhập số số hạng n, số hạng đầu a₁ và số hạng cuối aₙ. Nhấn nút tính để xem tổng. Bảng kết quả còn hiển thị số hạng trung bình — chính là giá trị nằm giữa số hạng đầu và số hạng cuối — giúp bạn dễ hình dung vì sao công thức lại đúng.
Giải thích công thức
Tổng được tính theo công thức:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
Ý tưởng này được cho là của nhà toán học Carl Friedrich Gauss khi còn nhỏ: khi ghép số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng áp chót, và cứ thế tiếp tục, mỗi cặp luôn có tổng bằng nhau \((a_1 + a_n)\). Có tất cả \(n/2\) cặp như vậy, nên tổng bằng \(n(a_1 + a_n)/2\). Vì các số hạng cách đều nhau nên giá trị trung bình của tất cả số hạng đúng bằng trung bình của hai số hạng đầu — cuối, và tổng chính là giá trị trung bình đó nhân với số lượng số hạng.
Ví dụ minh họa
Xét dãy 1, 3, 5, 7, ..., 19. Ở đây \(n = 10\), \(a_1 = 1\) và \(a_n = 19\). Tổng là:
$$S = \frac{10 \times (1 + 19)}{2} = \frac{10 \times 20}{2} = 10 \times 10 = \mathbf{100}.$$
Khi cộng trực tiếp mười số lẻ (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19) ta cũng được 100, đúng như công thức đã cho.
Định nghĩa và Thuật ngữ
- Chuỗi cộng / cấp số cộng
- Tổng của các số hạng trong một dãy cộng — một danh sách các số trong đó mỗi số hạng khác số hạng trước đó một lượng cố định. Bản thân dãy (1, 4, 7, 10, …) là cấp số; tổng được cộng lại (1 + 4 + 7 + 10) là chuỗi.
- n — số các số hạng
- Có bao nhiêu số hạng được cộng lại. Nó phải là một số nguyên dương; trong \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\), nó tỷ lệ với tổng.
- a₁ — số hạng đầu tiên
- Giá trị bắt đầu của dãy, số hạng nơi phép cộng bắt đầu.
- aₙ — số hạng cuối cùng
- Số hạng cuối cùng được đưa vào tổng (số hạng thứ \(n\)). Cùng với \(a_1\), nó xác định phạm vi giá trị được cộng.
- d — công sai
- Lượng hằng số được cộng để chuyển từ một số hạng này sang số hạng khác, \(d = a_{k+1} - a_k\). Nó có thể được tìm từ các điểm cuối như \(d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}\). Một \(d\) dương sẽ tạo ra một dãy tăng; một \(d\) âm tạo ra một dãy giảm.
- Số hạng trung bình
- Trung bình cộng của tất cả các số hạng, bằng \(\frac{a_1 + a_n}{2}\) (cũng bằng \(\frac{S_n}{n}\)). Vì các số hạng được cách đều nhau, trung bình chính là điểm giữa của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, đây là lý do tại sao \(S_n = n \times \text{(số hạng trung bình)}\).
Câu hỏi thường gặp
Các số hạng có bắt buộc là số nguyên không? Không. Công thức áp dụng cho mọi cấp số cộng, kể cả số thập phân và số âm, miễn là khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi.
Nếu tôi chưa biết số hạng cuối thì sao? Nếu bạn biết công sai d, hãy tính trước \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) rồi nhập vào công cụ — hoặc dùng dạng tương đương \(S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]\).
n có thể là số thập phân không? Trong một dãy số thực sự, \(n\) là số nguyên dương (số lượng số hạng). Công cụ vẫn tính ra kết quả số học, nhưng bạn nên dùng số nguyên để kết quả có ý nghĩa.
