Công cụ này làm gì
Công cụ giúp xác định các đường tiệm cận của một hàm phân thức hữu tỉ — tức là thương của hai đa thức có dạng \(f(x) = \frac{a\,x^{n} + \cdots}{b\,x^{m} + \cdots}\). Máy tính trả về tiệm cận ngang theo quy tắc so sánh bậc quen thuộc, đồng thời hỗ trợ bạn tìm tiệm cận đứng bằng cách cho mẫu số bằng 0.
Cách sử dụng
Hãy nhập hệ số bậc cao nhất và bậc của tử số (\(a\) và \(n\)) cùng với của mẫu số (\(b\) và \(m\)). Máy tính sẽ so sánh hai bậc này để tìm ra tiệm cận ngang. Nếu bạn đã biết một giá trị thực làm mẫu số bằng 0, hãy điền nó vào ô nghiệm (tùy chọn) để xác nhận tiệm cận đứng \(x = \) giá trị đó.
Giải thích công thức
Dáng điệu theo phương ngang của một hàm phân thức hữu tỉ chỉ phụ thuộc vào các số hạng có bậc cao nhất. Khi bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, hàm số tiến dần về 0, nên tiệm cận ngang là
$$\text{HA: } y = 0 \qquad\left(n < m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$Khi hai bậc bằng nhau, hàm số dần ổn định tại tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất, tức \(y = \frac{a}{b}\).
$$\text{HA: } y = \frac{a}{b} \qquad\left(n = m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$Khi bậc của tử lớn hơn, hàm số tăng vô hạn nên không có tiệm cận ngang (thay vào đó có thể tồn tại tiệm cận xiên hoặc tiệm cận đa thức).
$$\text{No HA} \qquad\left(n > m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$Tiệm cận đứng xuất hiện tại những giá trị \(x\) làm mẫu số bằng 0 trong khi tử số khác 0.
Ví dụ minh họa
Xét hàm \(f(x) = \frac{2x + 3}{x^{2} - 1}\). Tử số có bậc 1 và mẫu số có bậc 2, do đó \(n < m\) và tiệm cận ngang là \(y = 0\). Mẫu số phân tích thành \((x - 1)(x + 1)\), cho ra hai tiệm cận đứng tại \(x = 1\) và \(x = -1\). Khi nhập \(a = 2\), \(n = 1\), \(b = 1\), \(m = 2\) và nghiệm \(= 1\), máy tính xác nhận \(y = 0\) cùng một tiệm cận đứng tại \(x = 1\).
Câu hỏi thường gặp
Đồ thị hàm phân thức có thể cắt qua tiệm cận ngang không? Có. Tiệm cận ngang mô tả dáng điệu của hàm số khi \(x\) tiến tới \(\pm\infty\); với những giá trị \(x\) hữu hạn, đồ thị hoàn toàn có thể cắt qua nó.
Nếu bậc của tử và mẫu chênh nhau đúng 1 đơn vị thì sao? Khi đó không có tiệm cận ngang, nhưng lại tồn tại tiệm cận xiên, tìm được bằng phép chia đa thức.
Tại sao phải nhập nghiệm để tìm tiệm cận đứng? Việc tìm nghiệm của mẫu số đòi hỏi phải giải một phương trình đa thức, điều mà công cụ gọn nhẹ này không tự thực hiện. Khi bạn cung cấp sẵn một nghiệm đã biết, máy tính có thể báo ngay tiệm cận đứng tương ứng.
