ماذا تفعل هذه الحاسبة
تساعدك هذه الأداة على تحديد خطوط التقارب لدالة نسبية، وهي خارج قسمة كثيرتي حدود على الصورة \( f(x) = \frac{a\,x^{n} + \cdots}{b\,x^{m} + \cdots} \). تُرجع لك خط التقارب الأفقي باستخدام قاعدة مقارنة الدرجات المعروفة، كما تساعدك على تحديد خطوط التقارب الرأسية عبر مساواة المقام بالصفر.
كيفية الاستخدام
أدخل المعامل الرئيسي ودرجة البسط (\(a\) و \(n\))، ثم المعامل الرئيسي ودرجة المقام (\(b\) و \(m\)). تقارن الحاسبة بين الدرجتين لتحديد خط التقارب الأفقي. وإذا كنت تعرف مسبقًا قيمة حقيقية يصبح عندها المقام صفرًا، فأدخلها في خانة الجذر الاختيارية لتأكيد وجود خط تقارب رأسي عند \( x = \) القيمة.
شرح المعادلة
يعتمد السلوك الأفقي للدالة النسبية على حدود أعلى أُس فقط. فعندما تكون درجة البسط أصغر من درجة المقام، تتقلص قيمة الدالة نحو الصفر، فيكون خط التقارب الأفقي هو $$\text{HA: } y = 0 \qquad\left(n < m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$ وعندما تتساوى الدرجتان، تستقر الدالة عند نسبة المعاملين الرئيسيين، أي $$\text{HA: } y = \frac{a}{b} \qquad\left(n = m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$ أما إذا كانت درجة البسط أكبر، فإن الدالة تنمو بلا حدود ولا يوجد خط تقارب أفقي (وقد يظهر بدلًا منه خط تقارب مائل أو كثير حدود). $$\text{No HA} \qquad\left(n > m\right);\quad \text{VA: } x = \text{root}$$ أما خطوط التقارب الرأسية فتظهر عند قيم \(x\) التي تجعل المقام صفرًا بينما يبقى البسط غير صفري.
مثال محلول
لنأخذ الدالة \( f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 - 1} \). درجة البسط هنا 1 ودرجة المقام 2، أي أن \( n < m \)، ومن ثَمّ يكون خط التقارب الأفقي هو \( y = 0 \). ويتحلل المقام إلى \( (x - 1)(x + 1) \)، مما يعطي خطّي تقارب رأسيين عند \( x = 1 \) و \( x = -1 \). وبإدخال \( a = 2 \) و \( n = 1 \) و \( b = 1 \) و \( m = 2 \) والجذر \( = 1 \)، تؤكد لك الحاسبة أن \( y = 0 \) مع وجود خط تقارب رأسي عند \( x = 1 \).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تقطع الدالة النسبية خط تقاربها الأفقي؟ نعم. فخط التقارب الأفقي يصف سلوك الدالة عندما تقترب \(x\) من ما لا نهاية موجبًا أو سالبًا؛ أما عند القيم المنتهية لـ \(x\) فقد يقطع الرسم البياني هذا الخط.
ماذا لو اختلفت الدرجتان بمقدار واحد بالضبط؟ في هذه الحالة لا يوجد خط تقارب أفقي، بل يوجد خط تقارب مائل (مَيلي) يُستخرج عن طريق القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود.
لماذا أُدخل جذرًا لتحديد خط التقارب الرأسي؟ لأن إيجاد جذور المقام يتطلب حل معادلة كثيرة حدود، وهو أمر لا تقوم به هذه الأداة المبسّطة تلقائيًا؛ لذا فإن إدخال جذر معروف يتيح لها أن تخبرك مباشرة بخط التقارب الرأسي.
