ما هو الخط المقارب المائل (المنحرف)؟
الخط المقارب المائل أو المنحرف هو خط مستقيم غير أفقي تقترب منه الدالة النسبية كلما اتجهت قيمة \(x\) نحو ما لا نهاية موجبًا أو سالبًا. ولا يظهر هذا الخط إلا عندما تكون درجة البسط أكبر بمقدار واحد بالضبط من درجة المقام. تعالج هذه الحاسبة الحالة الأكثر شيوعًا، وهي قسمة بسط تربيعي على مقام خطي: \(f(x) = (a_2 x^2 + a_1 x + a_0) / (b_1 x + b_0)\).
طريقة الاستخدام
أدخل معاملات البسط الثلاثة (\(a_2\)، \(a_1\)، \(a_0\)) ومعاملي المقام (\(b_1\)، \(b_0\)). تُجري الأداة عملية القسمة المطولة لكثيرات الحدود وتُعيد معادلة الخط المقارب المائل بالصيغة \(y = m x + c\)، إلى جانب قيمتي الميل والتقاطع كلٍّ على حدة. ومع تزايد قيمة \(x\) يتلاشى حد الباقي حتى يصل إلى الصفر، ولذلك فإن الخارج وحده هو ما يحدد الخط.
شرح الصيغة الرياضية
عند قسمة \(a_2 x^2 + a_1 x + a_0\) على \(b_1 x + b_0\) نحصل على خارج بصيغة \(m x + c\) مضافًا إليه باقٍ مقسوم على المقام. وبمطابقة الحدود ذات الدرجة الأعلى يكون الميل \(m = a_2 / b_1\). وبالتعويض مرة أخرى يكون التقاطع \(c = (a_1 - m \times b_0) / b_1\). ومن ثمّ تكون معادلة الخط المقارب المائل هي:
$$\begin{gathered} y = mx + c \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \dfrac{\text{a}_2}{\text{b}_1} \\ c &= \dfrac{\text{a}_1 - m\cdot\text{b}_0}{\text{b}_1} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x - 1)\)، حيث \(a_2 = 1\) و \(a_1 = 3\) و \(a_0 = 2\) و \(b_1 = 1\) و \(b_0 = -1\). يكون الميل \(m = 1/1 = 1\)، والتقاطع \(c = (3 - 1 \times (-1))/1 = 4\). وبذلك يكون الخط المقارب المائل هو \(y = x + 4\). (وبالفعل، تعطي القسمة المطولة \(x + 4\) مع باقٍ مقداره \(6\).)
الأسئلة الشائعة
متى يوجد خط مقارب مائل؟ يوجد فقط عندما تكون درجة البسط أكبر بمقدار واحد بالضبط من درجة المقام. أما إذا تساوت الدرجتان فستحصل على خط مقارب أفقي بدلًا من ذلك.
ماذا لو كانت قيمة \(b_1\) تساوي صفرًا؟ في هذه الحالة لا يكون المقام خطيًا، ولا يوجد خط مقارب مائل بهذه الصيغة؛ ولذلك تتطلب الحاسبة أن تكون قيمة \(b_1\) مختلفة عن الصفر.
هل للباقي أهمية؟ لا — فحد الباقي يتلاشى كلما اقتربت قيمة \(x\) من ما لا نهاية، وبالتالي لا يؤثر على خط التقارب نفسه، بل يؤثر فقط على شكل المنحنى عند القيم المحدودة لـ \(x\).
