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परिणाम

तिरछा अनंतस्पर्शी

y = 1x + 4

as x → ±∞

ढाल (m)	1
अंतःखंड (c)	4

तिरछा (ऑब्लीक) अनंतस्पर्शी क्या होता है?

तिरछा या ऑब्लीक अनंतस्पर्शी एक सीधी, क्षैतिज न होने वाली रेखा होती है जिसके पास कोई परिमेय फलन तब पहुँचता है जब x धन या ऋण अनंत की ओर बढ़ता है। यह केवल तभी बनता है जब अंश की घात हर की घात से ठीक एक अधिक हो। यह कैलकुलेटर सबसे आम स्थिति को संभालता है — एक द्विघात अंश को एक रैखिक हर से विभाजित करना: $ f(x) = \dfrac{a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_1 x + b_0} $।

परिमेय फलन का वक्र जो दोनों सिरों पर एक तिरछी सीधी रेखा के पास पहुँचता है — तिरछी अनंतस्पर्शी वह विकर्ण रेखा है जिसके पास वक्र तब पहुँचता है जब x किसी भी दिशा में बहुत बड़ा होता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अंश के तीन गुणांक (a2, a1, a0) और हर के दो गुणांक (b1, b0) दर्ज करें। यह टूल बहुपद का लंबा भाग करता है और तिरछे अनंतस्पर्शी का समीकरण $ y = mx + c $ के रूप में लौटाता है, साथ ही ढाल (slope) और अंतःखंड (intercept) के अलग-अलग मान भी देता है। शेषफल वाला पद जैसे-जैसे x बढ़ता है शून्य की ओर सिकुड़ता जाता है, इसलिए केवल भागफल ही रेखा को परिभाषित करता है।

सूत्र की व्याख्या

$ a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $ को $ b_1 x + b_0 $ से विभाजित करने पर एक भागफल $ mx + c $ और हर के ऊपर एक शेषफल मिलता है। अग्रणी पदों का मिलान करने पर ढाल $ m = \dfrac{a_2}{b_1} $ आती है। इसे वापस रखने पर अंतःखंड $ c = \dfrac{a_1 - m\cdot b_0}{b_1} $ निकलता है। अतः तिरछा अनंतस्पर्शी निम्नलिखित होता है

$$ y = mx + c \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \dfrac{a_2}{b_1} \\ c &= \dfrac{a_1 - m\cdot b_0}{b_1} \end{aligned} \right. $$

बहुपद दीर्घ भाग का लेआउट जिसमें भागफल एक रैखिक व्यंजक और शेषफल के रूप में दिखाया गया है — द्विघात अंश को रैखिक हर से भाग देने पर रेखा $ y = mx + c $ और एक शून्य की ओर जाने वाला शेषफल मिलता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लें $ f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x - 1} $, यानी $ a_2 = 1 $, $ a_1 = 3 $, $ a_0 = 2 $, $ b_1 = 1 $, $ b_0 = -1 $। ढाल $ m = \dfrac{1}{1} = 1 $। अंतःखंड $$ c = \frac{3 - 1\cdot(-1)}{1} = 4 $$ इसलिए तिरछा अनंतस्पर्शी $ y = x + 4 $ है। (वास्तव में, लंबा भाग करने पर $ x + 4 $ और शेषफल 6 मिलता है।)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

तिरछा अनंतस्पर्शी कब अस्तित्व में होता है? केवल तब, जब अंश की घात हर की घात से ठीक एक अधिक हो। यदि दोनों बराबर हों, तो इसके बजाय एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी मिलता है।

अगर b1 शून्य हो तो? तब हर रैखिक नहीं रहता और इस रूप का कोई तिरछा अनंतस्पर्शी अस्तित्व में नहीं होता; इसलिए कैलकुलेटर के लिए b1 का शून्य से भिन्न होना आवश्यक है।

क्या शेषफल मायने रखता है? नहीं — जैसे-जैसे x अनंत की ओर बढ़ता है शेषफल वाला पद लुप्त हो जाता है, इसलिए यह अनंतस्पर्शी रेखा को प्रभावित नहीं करता, केवल परिमित x के पास वक्र को प्रभावित करता है।

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