사선(빗금) 점근선이란?
사선 점근선(빗금 점근선, oblique asymptote)은 x가 양의 무한대 또는 음의 무한대로 갈 때 유리함수가 점점 가까워지는, 수평이 아닌 직선을 말합니다. 이 점근선은 분자의 차수가 분모의 차수보다 정확히 1만큼 클 때에만 나타납니다. 이 계산기는 가장 흔한 경우, 즉 이차식 분자를 일차식 분모로 나누는 형태를 다룹니다: \(f(x) = (a_2 x^2 + a_1 x + a_0) / (b_1 x + b_0)\).
사용 방법
분자의 세 계수(\(a_2, a_1, a_0\))와 분모의 두 계수(\(b_1, b_0\))를 입력하세요. 계산기가 다항식 나눗셈(장제법)을 수행하여 \(y = m x + c\) 형태의 사선 점근선 방정식과 함께 기울기, y절편 값을 각각 알려줍니다. 나머지 항은 x가 커질수록 0에 수렴하므로, 직선을 결정하는 것은 오직 몫뿐입니다.
공식 풀이
\(a_2 x^2 + a_1 x + a_0\)을 \(b_1 x + b_0\)으로 나누면 몫 \(m x + c\)와 분모로 나눈 나머지가 나옵니다. 최고차항을 맞추면 기울기는 \(m = a_2 / b_1\)이 됩니다. 이를 다시 대입하면 y절편은 \(c = (a_1 - m \cdot b_0) / b_1\)로 구해집니다. 따라서 사선 점근선은 다음과 같습니다.
$$ y = mx + c \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \dfrac{a_2}{b_1} \\ c &= \dfrac{a_1 - m\cdot b_0}{b_1} \end{aligned} \right. $$
예제로 풀어보기
\(f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x - 1)\)을 살펴봅시다. 즉 \(a_2 = 1\), \(a_1 = 3\), \(a_0 = 2\), \(b_1 = 1\), \(b_0 = -1\)입니다. 기울기 \(m = 1/1 = 1\)이고, y절편은 다음과 같습니다.
$$ c = \frac{3 - 1\cdot(-1)}{1} = 4 $$따라서 사선 점근선은 \(y = x + 4\)입니다. (실제로 장제법으로 나누면 몫 \(x + 4\)에 나머지 6이 나옵니다.)
자주 묻는 질문
사선 점근선은 언제 존재하나요? 분자의 차수가 분모의 차수보다 정확히 1만큼 클 때에만 존재합니다. 두 차수가 같으면 사선 점근선 대신 수평 점근선이 생깁니다.
\(b_1\)이 0이면 어떻게 되나요? 그 경우 분모가 일차식이 아니므로 이런 형태의 사선 점근선은 존재하지 않습니다. 이 계산기는 \(b_1\)이 0이 아닌 값이어야 합니다.
나머지는 중요한가요? 아닙니다. 나머지 항은 x가 무한대로 갈수록 사라지므로 점근선 직선에는 영향을 주지 않습니다. 다만 유한한 x 근처에서의 곡선 모양에만 영향을 줍니다.
