계산 입력

결과

사선 점근선

y = 1x + 4

as x → ±∞

기울기 (m)	1
y절편 (c)	4

사선(빗금) 점근선이란?

사선 점근선(빗금 점근선, oblique asymptote)은 x가 양의 무한대 또는 음의 무한대로 갈 때 유리함수가 점점 가까워지는, 수평이 아닌 직선을 말합니다. 이 점근선은 분자의 차수가 분모의 차수보다 정확히 1만큼 클 때에만 나타납니다. 이 계산기는 가장 흔한 경우, 즉 이차식 분자를 일차식 분모로 나누는 형태를 다룹니다: $f(x) = (a_2 x^2 + a_1 x + a_0) / (b_1 x + b_0)$.

유리함수의 곡선이 양 끝에서 기울어진 직선에 가까워지는 모습 — 사선 점근선은 x가 어느 방향으로든 커질 때 곡선이 다가가는 대각선입니다.

사용 방법

분자의 세 계수($a_2, a_1, a_0$)와 분모의 두 계수($b_1, b_0$)를 입력하세요. 계산기가 다항식 나눗셈(장제법)을 수행하여 $y = m x + c$ 형태의 사선 점근선 방정식과 함께 기울기, y절편 값을 각각 알려줍니다. 나머지 항은 x가 커질수록 0에 수렴하므로, 직선을 결정하는 것은 오직 몫뿐입니다.

공식 풀이

$a_2 x^2 + a_1 x + a_0$을 $b_1 x + b_0$으로 나누면 몫 $m x + c$와 분모로 나눈 나머지가 나옵니다. 최고차항을 맞추면 기울기는 $m = a_2 / b_1$이 됩니다. 이를 다시 대입하면 y절편은 $c = (a_1 - m \cdot b_0) / b_1$로 구해집니다. 따라서 사선 점근선은 다음과 같습니다.

$$ y = mx + c \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \dfrac{a_2}{b_1} \\ c &= \dfrac{a_1 - m\cdot b_0}{b_1} \end{aligned} \right. $$

다항식 긴 나눗셈에서 몫이 일차식과 나머지로 표시된 배치 — 이차 분자를 일차 분모로 나누면 직선 $y = mx + c$와 0으로 사라지는 나머지 항이 나옵니다.

예제로 풀어보기

$f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x - 1)$을 살펴봅시다. 즉 $a_2 = 1$, $a_1 = 3$, $a_0 = 2$, $b_1 = 1$, $b_0 = -1$입니다. 기울기 $m = 1/1 = 1$이고, y절편은 다음과 같습니다.

$$ c = \frac{3 - 1\cdot(-1)}{1} = 4 $$

따라서 사선 점근선은 $y = x + 4$입니다. (실제로 장제법으로 나누면 몫 $x + 4$에 나머지 6이 나옵니다.)

자주 묻는 질문

사선 점근선은 언제 존재하나요? 분자의 차수가 분모의 차수보다 정확히 1만큼 클 때에만 존재합니다. 두 차수가 같으면 사선 점근선 대신 수평 점근선이 생깁니다.

$b_1$이 0이면 어떻게 되나요? 그 경우 분모가 일차식이 아니므로 이런 형태의 사선 점근선은 존재하지 않습니다. 이 계산기는 $b_1$이 0이 아닌 값이어야 합니다.

나머지는 중요한가요? 아닙니다. 나머지 항은 x가 무한대로 갈수록 사라지므로 점근선 직선에는 영향을 주지 않습니다. 다만 유한한 x 근처에서의 곡선 모양에만 영향을 줍니다.

사선(빗금) 점근선 계산기