¿Qué es una asíntota oblicua (inclinada)?
Una asíntota oblicua o inclinada es una recta no horizontal a la que se aproxima una función racional cuando x tiende a más o menos infinito. Aparece únicamente cuando el grado del numerador supera en exactamente una unidad al grado del denominador. Esta calculadora resuelve el caso más habitual: un numerador cuadrático dividido entre un denominador lineal, es decir, \(f(x) = \dfrac{a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_1 x + b_0}\).
Cómo utilizarla
Introduce los tres coeficientes del numerador (a2, a1, a0) y los dos del denominador (b1, b0). La herramienta efectúa la división larga de polinomios y devuelve la ecuación de la asíntota oblicua con la forma \(y = mx + c\), junto con los valores de la pendiente y de la ordenada en el origen. El término del resto se hace cero a medida que x crece, así que la recta queda definida solo por el cociente.
La fórmula explicada
Al dividir \(a_2 x^2 + a_1 x + a_0\) entre \(b_1 x + b_0\) obtenemos un cociente \(mx + c\) más un resto sobre el denominador. Igualando los términos de mayor grado, la pendiente es \(m = \dfrac{a_2}{b_1}\). Sustituyendo de nuevo, la ordenada en el origen resulta \(c = \dfrac{a_1 - m \cdot b_0}{b_1}\). Por tanto, la asíntota oblicua es:
$$y = mx + c$$donde
$$\left\{ \begin{aligned} m &= \dfrac{a_2}{b_1} \\ c &= \dfrac{a_1 - m \cdot b_0}{b_1} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}\), de modo que \(a_2 = 1\), \(a_1 = 3\), \(a_0 = 2\), \(b_1 = 1\) y \(b_0 = -1\). La pendiente es \(m = \dfrac{1}{1} = 1\). La ordenada en el origen es \(c = \dfrac{3 - 1 \cdot (-1)}{1} = 4\). Así, la asíntota oblicua es \(y = x + 4\). (Efectivamente, la división larga da \(x + 4\) con resto 6.)
Preguntas frecuentes
¿Cuándo existe una asíntota oblicua? Solo cuando el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador. Si ambos grados son iguales, lo que aparece es una asíntota horizontal.
¿Qué ocurre si b1 es cero? En ese caso el denominador deja de ser lineal y no existe una asíntota oblicua de esta forma; por eso la calculadora exige que b1 sea distinto de cero.
¿Influye el resto? No. El término del resto se desvanece cuando x tiende a infinito, de modo que no afecta a la recta asíntota, solo al comportamiento de la curva cerca de valores finitos de x.
