Что такое наклонная (косая) асимптота?
Наклонная, или косая, асимптота — это прямая (не горизонтальная), к которой график дробно-рациональной функции стремится при устремлении x к плюс или минус бесконечности. Такая асимптота появляется только тогда, когда степень числителя ровно на единицу выше степени знаменателя. Этот калькулятор рассчитан на самый распространённый случай: квадратный многочлен в числителе делится на линейный в знаменателе, то есть \(f(x) = \dfrac{a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_1 x + b_0}\).
Как пользоваться калькулятором
Введите три коэффициента числителя (a2, a1, a0) и два коэффициента знаменателя (b1, b0). Инструмент выполнит деление многочленов «уголком» и выдаст уравнение наклонной асимптоты в виде \(y = m x + c\), а также отдельно угловой коэффициент (наклон) и свободный член (точку пересечения с осью). Остаток от деления стремится к нулю при росте x, поэтому прямую асимптоты задаёт только частное.
Разбор формулы
При делении \(a_2 x^2 + a_1 x + a_0\) на \(b_1 x + b_0\) получается частное \(m x + c\) плюс остаток, делённый на знаменатель. Сравнивая старшие члены, находим наклон: \(m = \dfrac{a_2}{b_1}\). Подставив его обратно, получаем свободный член: \(c = \dfrac{a_1 - m\cdot b_0}{b_1}\). Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид
$$\begin{gathered} y = mx + c \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \dfrac{a_2}{b_1} \\ c &= \dfrac{a_1 - m\cdot b_0}{b_1} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Пример с решением
Возьмём \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}\), то есть a2 = 1, a1 = 3, a0 = 2, b1 = 1, b0 = −1. Наклон равен \(m = \dfrac{1}{1} = 1\). Свободный член \(c = \dfrac{3 - 1\cdot(-1)}{1} = 4\). Значит, наклонная асимптота — это \(y = x + 4\). (И действительно, деление «уголком» даёт \(x + 4\) с остатком 6.)
Частые вопросы
Когда вообще существует наклонная асимптота? Только если степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя. Если степени равны, у функции будет горизонтальная асимптота, а не наклонная.
Что будет, если b1 равно нулю? Тогда знаменатель перестаёт быть линейным, и наклонной асимптоты такого вида попросту нет — поэтому калькулятор требует, чтобы коэффициент b1 был отличен от нуля.
Влияет ли остаток на результат? Нет. Остаток обращается в ноль при стремлении x к бесконечности, поэтому на саму прямую асимптоты он не влияет — он сказывается лишь на поведении кривой при конечных значениях x.
