Что такое горизонтальная асимптота?
Горизонтальная асимптота — это горизонтальная прямая, к которой стремится график функции, когда x уходит в плюс или минус бесконечность. Для рациональной функции \(f(x) = P(x) / Q(x)\) положение асимптоты определяется только степенями и старшими коэффициентами многочленов в числителе и знаменателе — младшие члены на неё никак не влияют.
Как пользоваться калькулятором
Введите старший коэффициент и степень многочлена в числителе (верхняя часть дроби), а затем старший коэффициент и степень многочлена в знаменателе (нижняя часть). Калькулятор сравнит обе степени и мгновенно выдаст правильную горизонтальную асимптоту.
Разбор правила
Возможны три случая. Если степень числителя меньше степени знаменателя, функция «прижимается» к нулю, и асимптота равна \(y = 0\). Если степени совпадают, асимптота равна отношению старших коэффициентов: \(y = a/b\). Если же степень числителя больше, функция растёт неограниченно и горизонтальной асимптоты нет (хотя может появиться наклонная или степенная асимптота).
$$y = \begin{cases} 0 & \text{Num Deg} < \text{Den Deg} \\[0.6em] \dfrac{\text{Num Coef}}{\text{Den Coef}} & \text{Num Deg} = \text{Den Deg} \\[0.6em] \text{none} & \text{Num Deg} > \text{Den Deg} \end{cases}$$
Разбор примера
Возьмём \(f(x) = (2x^2 + 3) / (4x^2 - 1)\). Оба многочлена имеют степень 2, то есть степени равны. Горизонтальная асимптота равна отношению старших коэффициентов:
$$y = \frac{2}{4} = 0{,}5$$При больших значениях x слагаемые +3 и −1 становятся пренебрежимо малыми, и кривая всё плотнее прижимается к прямой \(y = 0{,}5\).
Часто задаваемые вопросы
Может ли график пересекать свою горизонтальную асимптоту? Да — в отличие от вертикальных асимптот, кривая вполне может пересекать горизонтальную при конечных значениях x. Эта прямая описывает лишь поведение функции «на концах».
Что происходит, если степень числителя больше? Горизонтальной асимптоты не существует. А если степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя, у функции вместо неё появляется наклонная (косая) асимптота.
Влияют ли свободные члены? Нет. Горизонтальную асимптоту определяют только члены наивысшей степени.
