Qu'est-ce qu'une asymptote horizontale ?
Une asymptote horizontale est une droite horizontale dont le graphe d'une fonction se rapproche lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. Pour une fonction rationnelle \(f(x) = P(x) / Q(x)\), l'asymptote dépend uniquement des degrés et des coefficients dominants des polynômes du numérateur et du dénominateur — et non des termes de degré inférieur.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le coefficient dominant et le degré du polynôme du numérateur (en haut), puis le coefficient dominant et le degré du polynôme du dénominateur (en bas). Le calculateur compare les deux degrés et renvoie instantanément l'asymptote horizontale correcte.
La règle expliquée
Trois cas se présentent. Si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la fonction s'aplatit vers zéro : l'asymptote est donc \(y = 0\). Si les deux degrés sont égaux, l'asymptote correspond au rapport des coefficients dominants, soit \(y = a/b\). Si le degré du numérateur est supérieur, la fonction croît sans limite et il n'existe aucune asymptote horizontale (il peut toutefois exister une asymptote oblique ou polynomiale).
$$y = \begin{cases} 0 & \text{Num Deg} < \text{Den Deg} \\[0.6em] \dfrac{\text{Num Coef}}{\text{Den Coef}} & \text{Num Deg} = \text{Den Deg} \\[0.6em] \text{none} & \text{Num Deg} > \text{Den Deg} \end{cases}$$
Exemple résolu
Prenons \(f(x) = (2x^2 + 3) / (4x^2 - 1)\). Les deux polynômes sont de degré 2 : les degrés sont donc égaux. L'asymptote horizontale est le rapport des coefficients dominants :
$$y = \frac{2}{4} = 0{,}5$$
Lorsque x devient très grand, le \(+3\) et le \(-1\) deviennent négligeables et la courbe épouse la droite \(y = 0{,}5\).
FAQ
Une courbe peut-elle franchir son asymptote horizontale ? Oui — contrairement aux asymptotes verticales, une courbe peut traverser une asymptote horizontale pour des valeurs finies de x ; cette droite ne décrit que le comportement à l'infini.
Que se passe-t-il si le degré du numérateur est supérieur ? Il n'y a pas d'asymptote horizontale. Si le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur d'exactement une unité, la fonction admet alors une asymptote oblique.
Les termes constants ont-ils une importance ? Non. Seuls les termes de plus haut degré déterminent l'asymptote horizontale.
