ما هو الخط المقارب الأفقي؟
الخط المقارب الأفقي هو خط أفقي يقترب منه منحنى الدالة كلما اتجهت قيمة \(x\) نحو ما لا نهاية موجبًا أو سالبًا. وبالنسبة لأي دالة نسبية على الصورة \(f(x) = P(x) / Q(x)\)، يعتمد هذا المقارب فقط على درجتي كثيرتي الحدود في البسط والمقام ومعامليهما الرئيسيين، ولا علاقة له بالحدود ذات الدرجات الأقل.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل المعامل الرئيسي ودرجة كثيرة الحدود في البسط (الجزء العلوي)، ثم المعامل الرئيسي ودرجة كثيرة الحدود في المقام (الجزء السفلي). تقارن الحاسبة بين الدرجتين وتعطيك الخط المقارب الأفقي الصحيح في الحال.
شرح القاعدة
هناك ثلاث حالات. إذا كانت درجة البسط أصغر من درجة المقام، فإن الدالة تتسطّح نحو الصفر، ويكون المقارب هو \(y = 0\). وإذا تساوت الدرجتان، فإن المقارب يساوي نسبة المعاملين الرئيسيين، أي \(y = a/b\). أما إذا كانت درجة البسط أكبر، فإن الدالة تنمو بلا حدود ولا يوجد مقارب أفقي (رغم احتمال وجود مقارب مائل أو مقارب على صورة كثيرة حدود).
$$y = \begin{cases} 0 & \text{Num Deg} < \text{Den Deg} \\[0.6em] \dfrac{\text{Num Coef}}{\text{Den Coef}} & \text{Num Deg} = \text{Den Deg} \\[0.6em] \text{none} & \text{Num Deg} > \text{Den Deg} \end{cases}$$
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = (2x^2 + 3) / (4x^2 - 1)\). كلتا كثيرتي الحدود من الدرجة الثانية، أي أن الدرجتين متساويتان. وبالتالي يكون الخط المقارب الأفقي مساويًا لنسبة المعاملين الرئيسيين: $$y = \frac{2}{4} = 0.5.$$ فكلما كبرت قيمة \(x\) أصبح الحدّان \(+3\) و\(-1\) مهملين، والتصق المنحنى بالخط \(y = 0.5\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن للمنحنى أن يقطع خطه المقارب الأفقي؟ نعم، فعلى عكس الخطوط المقاربة الرأسية، يمكن للمنحنى أن يقطع المقارب الأفقي عند قيم منتهية من \(x\)؛ فالخط لا يصف سوى سلوك الدالة عند الأطراف.
ماذا يحدث عندما تكون درجة البسط أكبر؟ لا يوجد مقارب أفقي. وإذا كانت درجة البسط أكبر بمقدار واحد بالضبط من درجة المقام، فإن للدالة مقاربًا مائلًا بدلًا من ذلك.
هل للحدود الثابتة أهمية؟ لا. فالحدود ذات الدرجة الأعلى وحدها هي التي تحدد الخط المقارب الأفقي.
