输入计算

结果

水平渐近线

y = 0.5

首项系数之比

渐近线的值 (y)	0.5
情况	deg(top) = deg(bottom)

什么是水平渐近线？

水平渐近线是一条水平直线，当 $x$ 趋向正无穷或负无穷时，函数图像会越来越逼近这条线。对于有理函数 $f(x) = P(x) / Q(x)$ 来说，水平渐近线只由分子和分母这两个多项式的次数及首项系数决定，与低次项毫无关系。

随着 x 增大，曲线逐渐逼近一条水平虚线 — 水平渐近线是当 $x$ 趋向正无穷或负无穷时曲线所逼近的 $y$ 值。

如何使用本计算器

先输入分子（上方多项式）的首项系数和次数，再输入分母（下方多项式）的首项系数和次数。计算器会自动比较两者的次数，瞬间给出正确的水平渐近线。

规则详解

一共分为三种情况。第一，若分子的次数小于分母，函数最终会趋于零，水平渐近线即为 $y = 0$。第二，若两者次数相等，水平渐近线就是首项系数之比，即 $y = a/b$。第三，若分子次数大于分母，函数会无限增长，此时不存在水平渐近线（但可能存在斜渐近线或多项式渐近线）。

$$y = \begin{cases} 0 & \text{Num Deg} < \text{Den Deg} \\[0.6em] \dfrac{\text{Num Coef}}{\text{Den Coef}} & \text{Num Deg} = \text{Den Deg} \\[0.6em] \text{none} & \text{Num Deg} > \text{Den Deg} \end{cases}$$

比较分子与分母次数的三种情形 — 三种结果取决于比较 $P$ 和 $Q$ 的次数。

实例演示

以 $f(x) = (2x^2 + 3) / (4x^2 - 1)$ 为例。分子和分母的次数都是 2，两者相等，因此水平渐近线就是首项系数之比：$$y = \frac{2}{4} = 0.5$$当 $x$ 越来越大时，$+3$ 和 $-1$ 的影响微乎其微，曲线会紧贴直线 $y = 0.5$。

常见问题

图像可以穿过自己的水平渐近线吗？可以。与垂直渐近线不同，在有限的 $x$ 范围内曲线是能够穿过水平渐近线的，这条线只描述函数在两端的趋势。

当分子次数更大时会怎样？此时没有水平渐近线。如果分子次数恰好比分母高 1，函数则会有一条斜渐近线（倾斜渐近线）。

常数项重要吗？不重要。只有最高次项才决定水平渐近线。

水平渐近线计算器